Denklemde her iki tarafın karesini alalım.
$$625^2-625.(a^2+b^2)+a^2b^2=a^2b^2+50abc+625c^2$$ Buradan
$$25.(625-(a^2+b^2+c^2))=2abc$$ gelir. Denklemin şu anki yeni formu a,b,c cinsinden simetrik oldu. (köklü denklemde kare alma uyguladığımız için kontrol gerekebilirdi ancak negatif olmayan tam sayılarda çözdüğümüz için $ab+25c\geq 0$ sağlanıyor.) $c=25$ olursa. $a^2+b^2=0$ olmalıdır aksi taktirde sol taraf negatif olur $(0,0,25)$ i not edelim.
$25|abc$ yi kullanabilmekten emin olmak için en az $1$ terim $0$ olsun bu da $c=0$ diyelim. Elimize $a^2+b^2=625$ denklemi gelir. Bu denklemin her iki terimi de $5$ in katı olmayan tek çözüm grubu $7,24,25$ den geliyor. $(7,24,0)$ bir çözümdür. ( pisagor parametrizasyonundan ($k.(m^2-n^2),2kmn,k.(m^2+n^2)$ ve $k|25$ geldiğinden $k=1$ dir. $m^2+n^2=25$ olacak şekilde $(m,n)=1$ şartını sağlayan çözüm bakmalıyız. $m>n$ için $m=4$, $n=3$ tek çözüm)
$(0,0,25)$ ve permütasyonlarını not alalım. $25|abc$ olduğundan ve bu sayılar $25$ in katı olamayacağından dolayı en az iki adet terim $5$ in katı olmalı.
Genelliği bozmadan $a=5k$ $b=5l$ alalım. Eşitlik. $$625-(25k^2+25l^2+c^2)=2klc$$ $k,l \in \{1,2,3,4\}$ elde ederiz.
Benzer şekilde genelliği bozmadan $k\leq l$ de seçelim ve eşitliği farklı şekilde ifade edelim.
$$625-(25k^2+25l^2)+(kl)^2=c^2+2klc+(kl)^2=(c+kl)^2=625-25k^2+(-25+k^2)l^2$$
1) $k=1$ olsun. $600-24l^2=(c+l)^2$ olur. Buradan $l=1$ için $(c+1)^2=576$ yani $c=23$ gelir. $l=2$ için tam kare gelmez. $l=3$ için de tam kare gelmez. $l=4$ için de tam kare gelmez. $(5,5,23)$ ve permütasyonları gelir.
2) $k=2$ olsun. $525-21l^2=(c+2l)^2$ olur. Buradan $l=2$ ise $21=c+2.2$ yani $c=17$ , $l=3$ ise tam kare gelmez. $l=4$ ise de tam kare gelmez.
$(10,10,17)$ ve permütasyonları sağlar.
3) $k=3$ olsun. $400-16l^2=(c+3l)^2$ olur. $l=3$ için $(16=c+3.3)$ yani $c=7$ gelir. $l=4$ ise $12=c+12$ $c=0$
$(15,15,7),(15,20,0)$ ve permütasyonları sağlar.
4) $k=4$ olsun. $k\ leq l $ den dolayı $l=4$ olmalıdır. $225-(9).16=81=(c+4.4)^2$ gelir. Ki bu da negatif olmayan tam sayılarda çözümsüzdür.
Buradan tüm çözümler $\{(0,0,25),(7,24,0),(5,5,23),(10,10,17),(15,15,7),(15,20,0)\}$ ve permütasyonlarından gelir.
