5arctan(1/7) + 2arctan(3/79) {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

5arctan(1/7) + 2arctan(3/79) kaç derecedir? (Leonhard EULER)

[alpercay]

arctan(1/7) = x  ve  arctan(3/79) = y dersek istenen toplam 5x + 2y derece olur.
tan(x) = 1/7  den   tan(5x) hesaplanabilir.
tan(y) = 3/79 dan  tan(2y) hesaplanabilir.

tan(5x + 2y) =[tan(5x) + tan(2y)] / [1 - tan(5x).tan(2y)] eşitliğinden  5x + 2y açısı bulunabir.İşlemler uzun geldiği için yapmadım.Bilgisayar marifetiyle bu açının 45 derece olması gerekiyor.

[Lokman Gökçe]

Cevap 45^o Alper hocam, tebrikler ... tan(5x) in, tan(x) türünden bir özdeşi var. Bunları kullanarak hesaplamaları yapabiliyoruz. İlginç tarafı Euler bu problemi nasıl düşünüp kurgulamış  ...

[alpercay]

Euler başlı başına bir anıt...Yanlış hatırlamıyorsam çalışmaktan gözleri kör olmuş ve en sonunda beyin kanamasından ölmüş.Euler ile ilgili benim bildiğim "Master All Of Us" diye MAA nın bir kitabı var.Sanmam ama belki o kitapta bunları nasıl düşündüğüne örnekler vardır.Bu arada   tan(nx) in eşiti nedir?

[Lokman Gökçe]

tan(nx) i bulmak için tan(x₁ + x₂ + ... + x_n) ifadesinin açılımı kullanılabilir

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities

bir de bundan başka cos(nx) ve sin(nx) ifadelerini cos(nx) + i.sin(nx) = (cosx + i.sinx)ⁿ açılımından elde edebiliyoruz. güzel tarafı cos(nx) ifadesi, cosx in bir polinomu olarak yazılabiliyor. Bu polinomlara da Chebyshew polinomları deniyor. Buradan tan(nx) = sin(nx)/cos(nx) işlemi ile tanx türünden bir formül bulunabiliyor. (ben n = 5 için bulmuştum) son olarak şu linke gözatılabilir.

http://mathworld.wolfram.com/Multiple-AngleFormulas.html