farklı kolye sayısı

[Lokman Gökçe]

p bir asal sayı ve n bir pozitif tamsayı olmak üzere p tane boncuğa, n tane renge sahibiz. Boncuklar bu renklere boyanıp bir ipe dizilerek kolye yapılacaktır. En az iki farklı renk kullanılması şartıyla bu kolyeyi kaç farklı yolla yapabiliriz?

(Soru güzel, sorunun cevabı ise sorudan daha güzel  )

[ibrahimsenturk]

Bir ipe dizilecek boncukları düşündüğümüzde sırasıyla her biri n tane renge boyanabilir olduğundan n olasılığa sahiptir. p tane boncuk olduğundan; n^p tane dizilim mevcuttur. Fakat en az iki farklı renk istediğinden dolayı aynı renge sahip kolyeler bu olasılıktan çıkarılacaktır. n tane renk olduğundan n tane aynı renge sahip kolye vardır. Dolayısıyla istenen tüm durum n^p-n ir. Bu sorunun Fermat'nın küçük teoremi ile ilgili olarak sorulduğunu düşünüyorum

[Lokman Gökçe]

yaklaştınız, tebrikler

cevabımız n^p - n değil de (n^p - n)/p olacak. (Neden?)

Farklı kolyelerin sayısını veren (n^p - n)/p sayısının bir tamsayı olduğunu düşünürsek Fermat'nın küçük teoremi, bu koyle probleminin bir sonucu oluyor

[ibrahimsenturk]

Bu kolyeyi kapalı halde düşünüp anahtarlık sorularındaki diziliş gibi düşünülmesi durumunda (n^p-n)/p geliyor. Ama ben düz bir ipe dizilip arkadan kancayla takılan kolye gibi düşünmüştüm :S