Üçgende açıortay ve kenarlar arası fark {çözüldü}

[geo]

ABC üçgeninde AC kenarı üzerinde alınan D noktası için AB=AD ve DC=5.
A'dan geçen BD'ye dik doğru BC kenarını E de kesiyor.
BC kenarı üzerinde BE = FC olacak şekilde F noktası alınıyor.
AE=12 ise AF=?

[sgmx]

mutlaka daha güzel bir çözümü vardır ama ben göremedim...

[geo]

Bir üçgende
AB=c, AC=b, BC=a,
BD = p, DC = q,
BE = q, EC = p
AD = x, AE = y ise

(b²p+c²q)/a - pq = x²
(b²q+c²p)/a - pq = y²

(b²-c²)(p-q)/a = x²-y²
(b-c)(b+c)(p-q)/a=x²-y²

Soruda özel olarak AD açıortay, bu durumda
(p-q)/(b-c)=(p+q)/(b+c)=a/(b+c) => (p-q)/a = (b-c)/(b+c)
Son durumda (b-c)² = x²-y²

AF² = 5²+12²=13²
AF=13.