17. ulusal (2012) ilköğretim matematik olimpiyatı 1. aşama soruları

[ERhan ERdoğan]

çözüm-19:

[ERhan ERdoğan]

çözüm-22:

[ERhan ERdoğan]

çözüm-23:

$(x^2-4x+4)+(y^2-2y+1)+(x^2-4xy+4y^2) = 0$

$(x-2)^2+(y-1)^2+(x-2y)^2 = 0$

$x=2 , y=1$ ve $x=2y$ olup bir tane $(x,y)$ ikilisi vardır.

[ERhan ERdoğan]

çözüm-20:

[ERhan ERdoğan]

çözüm-4:

$ABCDEFG$  yedi basamaklı sayısında  $A+C+E+G = B+D+F$  olmalıdır. $1+2+3+4+5+6+7 = 28$ olduğundan
grupların değerleri $14$ olur.

Buna göre ;

$7+6+1 = 2+3+4+5$

$7+5+2 = 1+3+4+6$

$7+4+3 = 1+2+5+6$

$6+5+3 = 1+2+4+7$

şeklinde $4$ farklı gruplama vardır.Mevcut sayıların adedi : $4.(3!.4!) = 576$

[ERhan ERdoğan]

çözüm-14:

x+y = A ⇒ (x+y)³ = A³ 

⇒ x³+y³+3xy(x+y) = A³

⇒ 5xy +3xyA = A³

⇒ xy(5+3A) = A³ .....(*)

(AGO) dan  (x+y)/2 ≥ √xy ⇒ 4xy ≤ A² 

ve (*) dan  4A³ ≤ (3A+5)A²

⇒ A²(A-5) ≤ 0

Buradan görüyoruz ki bir tek (x,y) ikilisi için eşitlik durumunda A=0 ve A=5 olmalıdır.

[arthur coimbra]

çözüm-13:

[arthur coimbra]

çözüm-28:

[arthur coimbra]

çözüm-17:
bu soru güzelmiş   

[muuurat]

çözüm-16:

[FEYZULLAH UÇAR]

SORU5: x pozitif gerçel sayısının tam sayı ve kesirli kısımlarının çarpımı 2 den, y pozitif gerçel sayısının tam sayı ve kesirli kısımlarının çarpımı  da 3 ten küçük değilse, xy en az kaç olabilir.
ÇÖZÜM [F.UÇAR]: 
x.y çarpımının en küçük olabilmaesi için x ve y nin en küçük olacağı aşikardır.
x=a+b/c  , y=d+e/f  olsun.
xve y  sayılarında tamsayı kısmı, paydaya tam bölünmeli  bundan ve bu sayılar en küçük olamalıdır.  basit denemelerle a sayısının 1,2 olamıyacağı anlaşılabilir.Bundan dolayı b=2 a=c=3 seçilebilir.Benzer şekikde d=f=4 , e=3 seçilebilir. Buradan
x=11/3 ,y=19/4 olur
x.y=209/12 olur.
                                                                         CEVAB: B

[FEYZULLAH UÇAR]

SORU7:  Dördü beyaz, dördü kırmızı tişört giyen sekiz öğrenci ikişer kişilik dört sıraya farklı renkte tişört giyen iki öğrenci aynı sırada oturmamak koşuluyla kaç farklı biçimde oturabilir?

ÇÖZÜM[F.UÇAR]
Önce  4 sıradan hangilerine beyaz tişört giyen öğrencileri oturtacağımızı seçelim. Beyazlar 2 sıraya oturacaklarından (4,2)=6 farklı şekilde  seçilir.Bu seçilen 2 sıraya hangi beyazların oturacağınıda seçmeliyiz Bu da (4,2).(2,2)=6  şekilde olur.Aynı seçim Kırmızılar içinde (4,2).(2,2)=6 durum vardır.Birde öğrencilerin kendi aralarında yerdeğiştirmelerini de hesaba katarsak
  cevap 6.6.6.2.2.2.2=6³.2⁴=3456 olur
                                                                                                                   Cevap: D

[ERhan ERdoğan]

çözüm-28/2:

3x+2y+z=12 ⇒ z = 12-3x-2y   

x³+y²+z = x³-3x+y²-2y+12

= x³ -3x+2+y² -2y+1+9 =( x³-1 )-3(x-1)+(y-1)²+9

=(x-1)(x²+x-2)+(y-1)²+9 = (x-1)²(x+2)+(y-1)²+9

x ve y negatif olmayan gerçel sayılar olduğundan x=y=1 için verilen ifade en küçük değerini alır ve bu değer 9 olur.

[ERhan ERdoğan]

çözüm-8:

$AB$ iki basamaklı bir sayı olmak üzere; ilk iki kuvvetin isteneni sağlaması yeterlidir.

$AB \equiv AB (\mod100)$

$AB^2 \equiv AB (\mod100)$

$(10A+B)^2 \equiv AB (\mod100)$

$100A^2 + 20AB + B^2 \equiv 10A+B (\mod100)$

$10A(2B-1) + B(B-1) \equiv 0 (\mod100)$

$A=2,B=5$  ve $A=7,B=6$ değerleri için denkliğin sağlandığını görebiliriz.

[Lokman Gökçe]

Bu da az farklı yolu olsun

çözüm 8/2