x^5 + x + 1 = 0 {ÇÖZÜLDÜ}

[Beyşehirli]

x⁵ + x + 1 = 0 ise x³ ün alabileceği tüm reel değerlerin toplamını bulunuz.

[nafizbasaran]

iki tarafa da x³ ekleyip 1 i karşı tarafa atarsak x⁵+x³+x=x³-1 olur sol taraf x.(x⁴+x²+1) sağ taraf ise
(x-1).(x²+x+1) olur sol taraftaki ifadeyi x.(x²+x+1)(x²-x+1) şeklinde yazıp hepsini sol tarafa atarsak (x²+x+1).(x³-x²+1)=0 bulunur sol taraftaki çarpandan gelecek olan 2 kompleks kökün küpler toplamı 2 dir (x³-x²+1) polinomunda x³ ü (x²-1) şeklinde yazıp vieta formüllerini uyguladığımızda buradan gelen küplerin toplamı da -2 bulunur yani bizden istenen cevap 0 dır.

Not: Nafiz Hocam alt ve üst simge için sup ve sub butonlarını kullanırsak çözümlerimiz daha bir güzel gözüküyor.Kolay gelsin.Alper