Üçgen - Uzunluk {ÇÖZÜLDÜ}

[Beyşehirli]

ABC üçgeninde AD yükseklik ve H diklik merkezi olmak üzere; AD ve BC doğru parçalarının orta noktaları sırayla M ve E dir. AD = BC ancak ve ancak HM = HE önermesinin doğruluğunu gösteriniz.

[ERhan ERdoğan]

I) AD=BC ise
harflendirmeleri şu şekilde yaparak;
HD=a , HM=b , HE=x , DE=y ve
Diklik merkezinin  BD.DC=DH.AD ...(*) özelliğini kullanarak
[(a+b)-y].[(a+b)+y] = 2a.(a+b)  'den  b²=a² + y²  dir.
HDE dik üçgeninde pisagor teoreminden  x² = a² + y²  old.  b=x dir.

II) HM=HE ise
harflendirmeleri şu şekilde yaparsak;
HD=a , HM=b , BD=m , DE=n ve
yukarıda verilen (*) özelliğini kullanarak
m(m+2n) = 2a(a+b)  =>  m²+2mn=2a²+2ab  eşitliğin her iki tarafına n² eklersek
ve HDE üçgenindeki pisagor eşitliği ile birlikte
(m+n)²=(a+b)² olur. buradan  m+n=a+b dir