tam değer

[Beyşehirli]

x⁵ - x³ + x - 2 = 0 denkleminin bir kökü a olduğuna göre [|a⁶|] kaçtır?

[Legendary]

f(1)=-1 ve f(2)=24 olduğunu biliyoruz.Dolayısıyla 1 ve 2 arasındaki köke a diyelim. 1/2<a<2 olduğu için; (a-1/2)(a-2)<0 => 2a²-5a+2<0 => 2(a+1/a)-1<4 olur. Şimdi denkleme dönersek, her tarafı a² ile çarpalım;
a⁷=a⁵-a³+2a² olur.
a⁵-a³=2-a olduğunu ana denklemden zaten biliyoruz. Yerine yazarsak;
a⁷=2a²-a+2 her tarafı a'ya bölelim;
a⁶=2(a+1/a)-1 A.G.O'dan (a+1/a)≥2 dolayısıyla a⁶≥3 olur. Ve,
3≤a⁶<4 => [|a⁶|]=3 olur.