$6k+1$ tipinde asallar

[tanerkalyoncu]

soru:6k+1 tipinde sonsuz asal vardır?ispatlayın.
bu Drichlet teoreminin özel bir hali aslında .ama farklı bir ispat yöntemi olabilir mi?

[Beyşehirli]

Varsayalım 6k+1 tipinde asal sayılar sonlu tane olsun ve bu tip asalların en büyüğü q olsun. q dan küçük tüm asal sayılar p₁, p₂, ... , p_n olsun. X = p₁p₂...p_nq+1 sayısını ele alalım. X sayısı p₁, p₂, ... , p_n ve q asal sayılarının hiçbirisine bölünmeyeceği için asaldır. Aynı zamanda p₁p₂...p_nq çarpımı 2 ve 3 asal sayılarını içerdiği için 6 ya bölünür dolayısıyla X sayısı 6k+1 tipinde bir asal sayıdır. O halde q dan büyük ve 6k+1 tipinde bir asal sayı elde ettik : ÇELİŞKİ. Dolayısıyla 6k+1 tipindeki asallar sonsuz çokluktadır.

[Lokman Gökçe]

Dirichlet prensibine, Euclid'in ''sonsuz sayıda asal vardır'' teoreminin bir genellemesi gözüyle bakılabilir. 4m + 3 formunda sonsuz çoklukta asal sayı olduğunun ispatı da aşağıdaki linkte benzer biçimde verilmiştir:

http://www.mathpath.org/proof/proof.great.htm

[tanerkalyoncu]

çok teşekkürler

[Ferhat GÖLBOL]

   Beyşehirli hocam, çözümünüzü tam olarak anlayamadım. Sanırım varsayımınıza göre q, 6k+1 şeklinde yazılabilen en büyük asal sayı. Yani q'dan büyük olan, ancak 6k+1 formunda olmayan asal sayılar bulunabilir. O halde X sayısını bölen q'dan büyük ve X'ten küçük bir asal sayının bulunması olasıdır. X asal olmak zorunda değildir.

   Lokman hocam, verdiğiniz linkteki ispat her ne kadar tercüme edip anlayana kadar zorlasa da hoş bir ispat. Bu ispatı 6k+1 formundaki asallar için uyarlayabilir miyiz?

[tanerkalyoncu]

beyşehirli hocamın ispatını şöyle yapabilirmiyiz...
6k+1 tipinde sonlu tane asal sayı olsun. bunlar a=7<a<b<...<c olmak üzere a=6m+1,b=6n+1,...c=6r+1 olsun.(m,n,...r doğal sayı)
bu durumda p=6.a.b....c + 1 = 6.(6m+1)...(6r+1)+1 sayısına bakalım.p sayısı da 6x+1 tipindedir.dolayısyla en az bir asal çarpanı vardır.bu sayı kabul ettiğimiz a,b,...,c asallarından hiç birine bölünemiyeceğinden p bir asal sayıdır.bu çelişkiye göre 6k+1 tipinde sonsuz asal vardır

[Ferhat GÖLBOL]

    Taner hocam, aynı şekilde p'nin 6x+1 şeklinde olması, 6n+1 şeklinde bir asal böleninin olmasını gerektirmez. Mesela 55 sayısı 6*9+1'dir, ancak asal çarpanları olan 5 veya 11 6n+1 formunda değildir. p sayısının çift sayıda 6n-1 formunda asal çarpanı da olabilir.

    Soru Lokman hocamın verdiği linkteki gibi 6n-1 formundaki asalları sorsaydı p=6*a*b*...-1 sayısının 6n-1 formunda ve a,b,...den farklı en az bir asal çarpanı olduğunu söyleyebilirdik, çünkü 3'ten büyük her asal sayı 6k-1 veya 6k+1 formundadır, öbür türlü 2 veya 3'e bölünür. p'nin bütün asal çarpanları 6n+1 formunda olsaydı p de 6k+1 formunda olurdu, o halde 6n-1 formunda en az bir asal çarpanı olmalıdır ve bu çarpan a,b,...den farklıdır, derdik. Ama 6n+1 asallarını sorunca durum değişiyor.

[tanerkalyoncu]

öyleyse 6k+1 tipinde asalların sonsuzluğunun bilinen bir ispatı yok.yani henüz yok  .çokta kolay değil miş....

[Lokman Gökçe]

    Soru Lokman hocamın verdiği linkteki gibi 6n-1 formundaki asalları sorsaydı p=6*a*b*...-1 sayısının 6n-1 formunda ve a,b,...den farklı en az bir asal çarpanı olduğunu söyleyebilirdik, çünkü 3'ten büyük her asal sayı 6k-1 veya 6k+1 formundadır, öbür türlü 2 veya 3'e bölünür. p'nin bütün asal çarpanları 6n+1 formunda olsaydı p de 6k+1 formunda olurdu, o halde 6n-1 formunda en az bir asal çarpanı olmalıdır ve bu çarpan a,b,...den farklıdır, derdik. Ama 6n+1 asallarını sorunca durum değişiyor.

ben de linkteki ispata benzeterek 6m - 1 formunda sonsuz çoklukta asal olduğunun ispatını yazacaktım ... ispatlanmış bile Dirichlet Prensibinin özel durumlardaki ispatlarından bazılarını rahatça yapabiliyoruz. ama hepsini değil. örnek olarak 6n + 1 formunda sonsuz çoklukta asal olduğunu yukarıda verdiğim linkte verilen ispata benzer biçimde ispatlayamıyoruz. Taner hocamın da dediği gibi 'çokta kolay değilmiş' hatta sorunun hakkını teslim edelim en iyisi. bu basbayaa zor bir soru

[tanerkalyoncu]

peki 6k-1 formunda sonsuz tane asal olması 6k-1 formunda ki her sayının asal olmasını gerektirir mi?yani her k sayma sayısı için hep asal sayı mı olur?6k-1 formunda bir bileşik sayı olabilir mi?

[ERhan ERdoğan]

mesela; k=6 için 6k-1=35 dir. demek ki her k sayma sayısı için 6k-1 asal değildir.

[Beyşehirli]

Peki hocam; bu Drichlet Teoremi'nin ispatının mevcut olduğu bir döküman var mı? Ben internette aradım fakat bulamadım..

[Lokman Gökçe]

Dirichlet prensibinin ispatı olan birkaç bilimsel döküman bulmuştum nette. kullanılan matematik dili bana biraz uzak geldiği için hiç bulaşmayayım, üstü kalsın demiştim. görmek isteyeceğinizi sanmıyorum ama yine de çok merak ediyorsanız buraya ekleyebilirim

[tanerkalyoncu]

tabii ya erhan hocam haklısınız. çok basit bir şekilde görülebiliyor olmadığı .insan daha karışık  matematiksel ispatlar bekliyor.oysa k=6 için için durum ortada.üşengeçlik yapmışım kusuru bakmayın 

[tanerkalyoncu]

peki 6k+1 in içinde sonsuz asal olduğunu gösteremiyoruz.şunu ispatlayabilirmiyiz acaba

6k+1 tüm terimleri ikişer ikişer aralarında asal olan bir aritmetik dizidir.