Gönderen Konu: Üçgenin iç merkezi neden medial üçgenin Nagel noktasıdır?  (Okunma sayısı 4155 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3010
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
'Üçgenin iç merkezi neden medial üçgenin Nagel noktasıdır' sorusu uzun süredir kafamı meşgul ediyordu, dün bu meseleyi nette araştırıp hallettim. siz de bu bahsettiğim sorunun çözümünü, nagel noktasıyla nagel doğrusunun ispatlarını ve nihayetinde tübitak 1994 2.aşama sorusunun eksiksiz çözümünü öğrenmek için aşağıdaki belgeden faydalanabilirsiniz ... iyi çalışmalar.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3010
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Ynt: Üçgenin iç merkezi neden medial üçgenin Nagel noktasıdır?
« Yanıtla #1 : Haziran 08, 2020, 06:34:07 ös »
Teorem: $ABC$ üçgeninde $(I)$ iç teğet çemberi ve $(I_a)$ dış teğet çemberi $BC$ doğrusuna sırasıyla $S$, $S_a$ noktalarında değsin. $[SS']$, $(I)$ çemberinin bir çapı olsun.

a. $A$, $S'$, $S_a$ noktalarının doğrusal olduğunu ispatlayınız.

b. $A'$, $B'$, $C'$; $[BC]$, $[CA]$, $[AB]$ kenarlarının orta noktaları olsun. $I$ noktasının, $A'B'C'$ üçgeninin Nagel noktası olduğunu ispatlayınız.

c. $I$, $G$, $N$ noktalarının doğrusallığını ve $\dfrac{|GI|}{|GN|}=\dfrac{1}{2}$ olduğunu ispatlayınız. ($G$ ile $N$ sırasıyla, $ABC$ üçgeninin kenarortaylarının kesim noktası ve Nagel noktasıdır.)


İspat:
a. $A$ merkezli $\dfrac{r}{r_a}$ oranlı homoteti $S_a$ noktasını $S'$ noktasına gönderir. Böylece $A$, $S'$, $S_a$ noktaları doğrusal olur.

b. $[SS']$ nün orta noktası $I$ ve $[SS_a]$ nın orta noktası $A'$ olduğundan $A'I \parallel S_aS' =AS_a$ olur. $AS_a$, $BS_b$, $CS_c$ noktaları $N$ Nagel noktasında kesişmektedir. Böylece medial homoteti; $N$ noktasını $A'I$, $B'I$, $C'I$ doğrularının kesim noktasına gönderir. Dolayısıyla $N$ noktasının $ABC$ üçgenindeki özelliği ile $I$ noktasının $A'B'C'$ üçgenindeki özelliği aynıdır.

c. $N$ ve $I$ noktaları, $G$ merkezli $-\dfrac{1}{2}$ oranlı medial homoteti için homotetik eşlenik noktalar dır. Homotetik eşlenik noktalar ve homoteti merkezi doğrusal olduğundan $I$, $G$, $N$ noktaları doğrusaldır. Homoteti oranından $\dfrac{|GI|}{|GN|}=\dfrac{1}{2}$ bulunur.



Kaynak: Cem Tezer'in 26 Aralık 1998 tarihli Geometri-1 dersi 2. Ara sınavı.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal