$2f(x)=f(x+1)+f(x+2)$ ise $f(100)=?$

[stuart clark]

If f(0) = 1 and f(1) = 2 and  2f(x) =  f(x+1)+f(x+2). then f(100) =

[senior]

f(x) + f(x-1) - 2f(x-2) = 0, its characteristic equation is c² + c - 2 = 0 --> c = {-2,1} --> f(x) = a(-2)^x + b
f(0) = 1 and f(1) = 2 --> a = -1/3 and b = 4/3, then f(x) = (4 - (-2)^x) / 3
where x = 100 gives (4-2¹⁰⁰)/3

[muharrem49]

I think, I found it.
f(x) = 1/3.[4-(-2)^x]

[muharrem49]

I didn't use the characteristic equation given by Senior.
I'll write the solution tomorrow.
Good night.

[muharrem49]

f(0) = 1,   f(1) = 2,    2f(x) = f(x+1) + f(x+2) are given.        (verilmiş.)

Using the given equation; let's write the following:            (Verilen denklemi kullanarak aşağıdakileri yazalım.)

f(0),  f(1),  f(2),  f(3),  f(4),  f(5),   f(6), ...
 1,      2,     0,     4,     -4,     12,    -20, ...   
     1,      -2,    4,     -8,     16,    -32,  ...

The third row above is the terms of the sequence {f(x)-f(x-1)}     (Yukarıdaki 3. satır {f(x)-f(x-1)} dizisinin terimleridir.)
We can see that;                                                  (  f(x)-f(x-1) = (-2)^(x-1) olduğu görülebilir.)
f(x) - f(x-1) = (-2)^(x-1)
f(x) = f(x-1) + (-2)^(x-1)

Using this equation, we can write the following:                    (Bu eşitlik kullanılarak aşağıdakiler yazılabilir.)

            f(1) = f(0) + (-2)⁰
            f(2) = f(1) + (-2)¹
            f(3) = f(2) + (-2)²
            .
            .
         + f(x) = f(x-1) + (-2)^(x-1)
         -------    -----------------------
            f(x) = f(0) + (-2)⁰ + (-2)¹ + (-2)² + ... +(-2)^(x-1)
            f(x) = 1 + [1-(-2)^x]/[1-(-2)]
           
            f(x) = 1/3.[4-(-2)^x]
 

[stuart clark]

Thanks Senior and muharrem49