inequality

[stuart clark]

[muharrem49]

1.
    a+b+c+d = 1 olmak üzere;
   (a+ 1/b).(b+ 1/c).(c+ 1/a) >= (10/3)³
    olduğunu gösteriniz.

Çözüm

"Aritmetik ortalama"nın "harmonik ortalama"dan büyük
veya ona eşit olduğunu kullanalım:

küpkök[(a+ 1/b).(b+ 1/c).(c+ 1/a)]  >=  3/[1/(a+ 1/b) +1/(b+ 1/c) +1/(c+ 1/a)]        (1)

Eşitlik,   a+ 1/b = b+ 1/c = c+ 1/a     (2)   olduğunda geçerlidir.
(2) sisteminin apaçık çözümü a = b = c dir.

a = b = c = t  değeri (1) eşitsizliğinin sağ tarafında yerlerine koyulursa;

3/[1/(a+ 1/b) +1/(b+ 1/c) +1/(c+ 1/a)] = t + 1/t  olur.

a+b+c+d = 1  iken, 0 <  a+b+c < 1  ve buradan  0 < t < 1/3 olur.
t + 1/t ifadesinin bu aralıkta azalan olduğu ve t = 1/3 için
en küçük değerini alacağı kolaylıkla görülür.

küpkök[(a+ 1/b).(b+ 1/c).(c+ 1/a)]  >=  10/3 
ve buradan
(a+ 1/b).(b+ 1/c).(c+ 1/a)  >=  (10/3)³
bulunur.

[stuart clark]

Thanks muharrem49