(Mehmet Utku Özbek)
Denkleme $mod \ 7$ de bakalım. Tam küplerin $mod \ 7$ de $0,1,6$ kalanlarını verdiğini biliyoruz. $n\neq 0$ olsun. $5^m \equiv 1,6 \pmod 7$ olur. $5$ in kuvvetlerine $mod \ 7$ de baktığımızda ise periyodunun $6$ olduğunu ve $3$ ile $6.$
kuvvetlerinde $1,6$ kalanlarını verdiğini görürüz. Yani $m=3t$ formunda olmalı. $n=0$ olduğu durumda $5^m+1=k^3$ olur. Bu da $mod 4$ te çelişkidir.
$\Longrightarrow 7^n=k^3-5^{3t}=\underbrace{(k-5^t)}_{7^a}\underbrace{(k^2+k.5^t+5^{2t})}_{7^b}$
$\Longrightarrow k=7^a+5^t \ \Rightarrow (7^a+5^t)^2+(7^a+5^t).5^t+5^{2t}=7^b$
$\Longrightarrow 7^b=7^{2a}+3.7^a.5^t+3.5^{2t}$
$a \gt b$ olduğu barizdir. Eğer $a\neq 0$ ise son ifadede $mod \ 7$ de çelişki çıkar. O zaman $a=0$ olmak zorunda. Dolayısıyla $b=n$ dir.
$\Longrightarrow 7^n=3.5^{2t}+3.5^t+1$
Son ifadeye $mod \ 5$ te bakarsak ($t\neq0$ olsun) $7^n \equiv 1 \pmod 5$ olur. Dolayısıyla $n=4l$ formunda olmalıdır. İlk denkleme $mod \ 4$ te bakarsak $1+(-1)^n \equiv 0,1,3 \pmod 4$ olur. Eğer $n$ çift olursa çelişki olur. O zaman
$n$ tek sayı olmak zorundadır. Ama $n=4l$ formunda olduğunu bulmuştuk. Çelişki.
Yani tek çözüm $t=0$ olduğu zaman bulunur. $t=0$ ise $m=0$ dır.
$\Longrightarrow 7^n=k^3-1=(k-1)(k^2+k+1)$
$k-1=7^c$ ve $k^2+k+1=7^d$ deyip ikincisinde $k=7^c+1$ yazarsak $7^{2c}+3.7^c+3=7^d$ olur. $c\neq0$ ise yine $mod \ 7$ de çelişki. Yani $c=0$ olmalı. O zaman $k=2$ ve $n=1$ olur.
Tek çözüm $(m,n,k)=(0,1,2)$ dir.
