$f(n)-f(n+f(m))=m$ koşulunu sağlayan $f$ fonksiyonlarını bul{Çözüldü}

[Beyşehirli]

Tüm m,n tam sayıları için f(n) - f(n + f(m)) = m koşulunu sağlayan f: Z -> Z fonksiyonlarını bulunuz.

[senior]

Güzel bir soru
Eşitliğimiz f(n) - f(n + f(m)) = m
Herhangi bir m₁ değeri için f(m₁) = 1'in sağlandığını varsayalım. Yani 1 elemanının fonksiyonun görüntü kümesinde olduğunu varsayıyoruz. Öncelikle bunu ispatlayalım.
1) m = 0, n = 0 --> f(0) - f(f(0)) = 0 --> f((f(0)) = f(0)
2) m = f(0), n = 0 --> f(0) - f(f(0)) = f(0) --> f(f(0)) = 0 --> f(0) = 0
3) n = 0 --> f(0) - f(f(m)) = m --> f(f(m)) = -m
4) (3)'te m yerine -m koyarsak, f(f(-m)) = m olur. Yani f(f(f(f(m)))) = f(k) = m
O zaman her m için bir k olmak zorunda. O zaman m₁ vardır ve (3)'e göre m₁ = -f(1)'dir.

Ana eşitliğe göre
f(n) - f(n+1) = m₁ ve bu bütün n'ler için geçerli. O zaman n yerine n+1 koyarsak
f(n+1) - f(n+2) = m₁ olur. Benzer şekilde
f(n+k-1) - f(n+k) = m₁'dir.
Taraf tarafa toplarsak f(n) - f(n+k) = km₁ çıkar, ve bu her n ve k için doğrudur. O zaman n = 0 koyarsak yine doğru olmak zorunda. Yani f(0) - f(k) = km₁ --> f(k) = kf(1)

Şimdi bu bulduğumuzu ana eşitlikte yerine koyalım.
f(n) = nf(1)
f(n+f(m)) = (n+f(m))f(1) = nf(1) + f(m)f(1) = nf(1) + mf(1)²
f(n) - f(n+f(m)) = m --> nf(1) - nf(1) - mf(1)² = m --> -mf(1)² = m, bütün m'ler için. --> f(1)² = -1 olmalı. Ama bu mümkün değil.

Yani böyle bir f(x) fonksiyonu yoktur.

[muharrem49]

Değerli Hocam;
Sorunun hatalı düzenlendiğine katılıyorum.
Ama; sizin
f(0) = 0
olduğunu nasıl gösterdiğinizi anlayamadım.  " 2) ...  satırı"
Ayrıca; f(0) ın sıfırdan farklı olması
soruyu kurtarabilecek gibi duruyor.
Sevgiler, saygılar.

[senior]

Soru hatalı değil ki, zaten bizden istenen böyle bir f(x) fonksiyonunun bulunmadığını göstermemiz.
2) no'lu satırda, yukarıdaki eşitlikte m yerine f(0) n = yerine 0 koyduğumuzda f(f(0)) = 0 buluyoruz.
1) no'lu satırda f(f(0)) = f(0) bulmuştuk. Yani f(0) = 0.

[muharrem49]

Açıklamanız için teşekkür ederim.
Soruyu tam algılamadan yazdığımı gördüm.
Yanlışlık derken de "Bu bağıntıyı sağlayan
fonksiyon yoktur." demek istediğim anlaşılmış.
İspatınızın güzelliğini de sonradan farkettim.

Bu günlerde "fonksiyonel bağıntılar ve türev"
üzerine sorular üzerinde düşündüğüm için,
aklıma şöyle bir yol geldi:

f(n) - f(n+f(m)) = m ise   
f '(n) - f '(n+f(m)) = 0  ise   (İki tarafın n'ye göre türevi alındı.)
-f '(m).f ''(n+f(m)) = 0  ise   (İki tarafın m'ye göre türevi alındı.) 
f '(x) = 0  veya f ''(x) = 0 olur.

f '(x) = 0 ise, k bir sabit olmak üzere, f(x) = k dır.
f(x) = k iken, verilen bağıntıda
k - k = m  olacağından, bağıntının her m için sağlanmadığı görülür.
Öyleyse; f(x) = k, verilen bağıntıyı sağlamaz.

f ''(x) = 0 ise f(x) = kx + t olur.
f(n), f(m) ve f(n+f(m)) ifadeleri verilen bağıntıda yerlerine konursa;
- k^2. m - kt = m elde edilir.
Bu eşitliğin her m için sağlanması,
- k^2 = 1 ve - kt = 0 eşitliklerinin birlikte sağlanmasını gerektirir.
Böyle k ve t değerleri bulunamayacağından,
f(x) = kx + t  fonksiyonu da verilen bağıntıyı sağlamaz.
Verilen bağıntıyı sağlayan fonksiyon yoktur.
 


   

[Lokman Gökçe]

Muharrem hocam selamlar,

Çözümünüzde küçük ama önemli bir noktayı atlamışsınız. f fonksiyonu ile ilgili ''türevlenebilir'' bilgisi verilmediğinden çözümde türevden faydalanamayız. Ayrıca f: Z -> Z şeklinde olduğundan tamsayılar kümesindeki f fonksiyonunun türevinden bahsedemeyiz.

iyi çalışmalar dilerim

[muharrem49]

Değerli Hocam;
Ben çözümü, R'nin bir alt kümesi olan en geniş kümede yapmıştım. (f : Z ---> Z olduğuna dikkat etmemişim.)
Bu biçimde tanımlı bir kümede, fonksiyonun türevli olduğu
bir aralık vardır, diye düşünmüştüm.
Böyle düşünmemde bir hata var mı?

[Lokman Gökçe]

Selamlar,

f: R->R şeklinde verilse bile yine de türevi kullanamayız hocam. Hatta sürekliliği bile kullanamayız. f nin türevinin olması ağır bir şarttır.

Örneğin Cauchy fonksiyonel denklemi, f: R -> R, f(x + y) = f(x) + f(y) denkleminin zannedilenin aksine olarak f(x) = cx dışında da çözümleri vardır. Ama f ye bir noktada süreklilik şartı getirilirse o zaman genel çözüm yalnızca f(x) = cx oluyor. süreklilik, monotonluk, sınırlılık, türevli olma, integre edilebilir olma ...vs gibi şartlar fonksiyonel denklemlerin çözümünü etkilemektedir.

[muharrem49]

Çok teşekkürler Hocam;
Konuyu çalışmam gerektiğini anladım.
Çok da iyi oldu.

[senior]

Muharrem merhaba, Lokman Hocamızında bahsettiği gibi türevlenebilme ağır bir şarttır, ve sürekli fonksiyonlar içindir.
Bu tür fonksiyonel soruları düşünürken, yanyana iki küme çizip bir kümeden diğerine ok çizmeniz yani fonksiyonun tanımını uygulamanız lazım. Sonuçta eğer bir fonksiyon mevcut ise, bunun bir formülü var olmak zorunda değildir.

[muharrem49]

İlginiz için teşekkür ederim Hocam.
Verdiğiniz bilgi önemli.
Bir de; fonksiyonel denklemlerle ilgili
örnekleri yazmada yararlanılan kitabı
nasıl elde edebilirim?

[Lokman Gökçe]

J. Aczel’in Lectures on Functional Equations And Their Applications (1966) kitabını boğaziçi ünv. nin kütüphanesinden fotokopi çektirmiştim. daha yakın tarihte basılan kitaplar da vardır muhakkak. Türkçe yazılan kitap da var sanıyorum. 12-13 yıl bi kitapçıda fonksiyonel denklemler isimli bir kitap görmüştüm ama almamıştım. şimdi de arayıp bulamıyorum fonksiyonel denklem kitaplarının pek müşterisi yoktur. kitapçıları aşındırmak lazım hocam.

[muharrem49]

Türevden yararlanarak yaptığım
akıl yürütme sonucunda şu yorum yapılabilir:
"Pozitif reel sayılarda,
f(n) - f(n+f(m)) = m
denklemini sağlayan, türevlenebilir bir
f fonksiyonu tanımlanamaz."

Yazdıklarım bir işe yarasın istedim.