P-Q-R doğrusallık {çözüldü}

[ERhan ERdoğan]

!..

[gahiax]

elinize  sağlık  Erhan hocam . Probleminizle ugraşırken bazı sonuçlar elde ettim . ekte sorunun çözümü ve elde ettiğim sonuçlar vaar. aslında üzerinde ugraşılsa farklı özellikler çıkabilir ama bayram arefesinden dolayı şimdilik bu kadar 

[Lokman Gökçe]

Halil İbrahim hocamın gönderdiği ekteki problem 1'in çözümünde bazı sorunlar var. Örneğin ispatı verilmesi gereken bir yer aşikar gibi düşünülmüş, buna karşılık da problemin verileni olan $|BD|=|DC|$ oluşu hiç kullanılmadan ispat yapılmış. Bir düzeltme yapmamız iyi olacak ...

Problem 1: $O$ merkezli bir $C_1$ çemberinin çaptan farklı bir $[BC]$ kirişinin orta noktası $D$ olsun. Çember üzerinde $B$ ve $C$ den farklı $E$, $D$ noktaları; $m(\widehat{EDB})=m(\widehat{FDB})$ olacak şekilde alınıyor. $EDOF$ dörtgeninin çembersel olduğunu ispatlayınız.

Çözüm: $D$ orta nokta olduğundan $OD \perp BC$ dir. Çemberin $E$ noktasındaki teğeti ile $BC$ nin kesişimi $K$ noktası olsun. Merkezden teğetin değme noktasından çizilen yarıçap, teğete dik olduğundan $OE \perp KE$ dir. (Henüz $OF \perp KF$ diyemiyoruz) Böylece $ODEK$ bir kirişler dörtgeni olur. Bu dörtgenin çevrel çemberini $C_2$ ile gösterelim. $[DF$ ile $C_2$ nin kesişimi $F'$ noktası olsun. Bir çemberde eşit ölçülü çevre açıların gördüğü kiriş uzunlukları da eşit olduğundan dolayı $KDEF'$ kirişler dörtgeninde $m(\widehat{EDK})=m(\widehat{F'DK})$ eşitliği bize $|KE|=|KF'|$ olduğunu söyler. $KDEOF'$ kirişler beşgeni olduğundan $m(\widehat{OF'K})=90^\circ$ dir. Böylece $KEOF'$ bir deltoit olup $|OF'|=|OE|=r$ elde edilir. Bu ise $F' \in C_1$, yani $F' = F$ olduğunu gösterir, ispat biter.

Bu problemin tersini çözmek daha estetik ve kolaydır.

Problem 1'in Tersi: $O$ merkezli bir $C_1$ çemberinin çaptan farklı bir $[BC]$ kirişinin orta noktası $D$ olsun. $BD$ doğrusu üzerinden alınan bir $K$ noktasından $C_1$ çemberine çizilen teğetlerin değme noktaları $E$ ve $F$ olsun. $m(\widehat{EDK})=m(\widehat{FDK})$ olduğunu ispatlayınız.

Çözüm: $OF \perp FK$, $OE \perp EK$, $OD \perp BC$ olduğundan $KEDOF$ bir kirişler beşgenidir. $|KE|=|KF|$ olduğundan $m(\widehat{EDK})=m(\widehat{FDK})$ dir.

[Lokman Gökçe]

Şimdi Erhan hocamın sorusuna dönelim:

Problem 3: Bir $C_1$ çemberi üzerindeki $B$, $C$ noktalarından çizilen teğetler bir $P$ noktasında kesişiyor. $[BC]$ nin orta noktası $D$ olmak üzere çember üzerinde $m(\widehat{EDB})=m(\widehat{FDB})$ olacak şekilde $E$ ve $F$ noktaları alınıyor. $P, E, F$ noktalarının doğrusal olduğunu gösteriniz.

Çözümü, Halil İbrahim hocamın verdiği çözüme benzer bir yolla yapacağız.

Çözüm: Üç çemberin kuvvet merkezi özelliğini kullanacağız. $C_1$ in merkezi $O$ olsun. Problem 1'de $EDOF$ nin kirişler dörtgeni olduğunu ispatlamıştık. Bu çembere $C_2$ diyelim. $ODB$ üçgeninin çevrel çemberine de $C_3$ diyelim. $C_1,C_2$ çemberlerinin kuvvet ekseni $EF$, $C_1,C_3$ çemberlerinin kuvvet ekseni $PB$, $C_2,C_3$ çemberlerinin kuvvet ekseni $OD$ olduğundan bu üç kuvvet ekseni, kuvvet merkezi olarak adlandırılan bir noktada kesişir. Problemimizde bu özel nokta $P$ dir. Diğer bir ifadeyle $P, E, F$ noktaları doğrusal olur.