Uzun bir süre geçmiş, çözümü paylaşalım
İlk olarak zar oyunundan bağımsız şu alt problemi çözelim:
Elimizde hileli bir para var, yazı gelme olasılığı p olsun. Tura gelme olasılığı 1-p. Ortalama kaç el ardarda para atmalıyız ki, yazı gelsin?
1 el olasılığı --> p
2 el olasılığı --> (1-p)p
3 el olasılığı --> (1-p)
2p
...
ve bu sonsuza kadar gider. Her el sayısını olasılığıyla çarparsak
Ortalama X = p + 2(1-p)p + 3(1-p)
2p + ... elde başarıya ulaşırız.
Tabi bu sonsuz bir toplam, kısaltılması lazım, o zaman toplamı biraz daha inceleyelim:
X = p( 1 + 2(1-p) + 3(1-p)
2 + ... ) = -p( 1 + (1-p) + (1-p)
2 + (1-p)
3 ... )'
()' : Türev anlamında. Devam edelim,
X = -p( 1/(1-(1-p)) )' = -p(1/p)' = p/p
2 = 1/p
Yani
X = 1/p çıktı. Gayet mantıklı, mesela, yazı gelme olasılığı 1/10 ise, ortalama 10 el atıp yazı gelmesini bekleriz değil mi?
Bunu şöyle kısaca özetleyebiliriz: Başarı olasılığı p olan bir olayın gerçekleşmesi için ortalama 1/p deneme yapmalıyız.Şimdi orjinal soruya geçelim:
Problemde zar ile uğraşırken, önümüzde altı adet adım var. Birincisi ilk sayının gelmesi. 2.si ikinci farklı sayının gelmesi, ... 6.farklı sayının gelmesi.
İlk farklı sayının gelmesi için zaten zarı 1 kez atmamız yeterli. Gelen sayı önceden hiç zar atmadığımız için kaydedilecektir.
İkinci farklı sayının gelme olasılığı 5/6, o zaman ortalama 6/5 zarda 2. yeni sayı gelecek.
İki yeni sayı geldi, üçüncü yeni sayı için olasılığımız 4/6, yani 6/4 el lazım ortalama.
Böyle devam ederse, 6.sayı için olasılık 1/6 yani, ortalama 6/1 = 6 el demektir.
Bunları toplarsak, zardaki bütün sayıların gelmesi için gereken ortalama atış sayısını buluruz yani:
1 + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6/1 = 147/10 çıkar.
