Sorunun bu biçimde olduğundan şüpheliyim. Aslında ipin uç noktasının çizdiği eğri altında kalan alan soruluyor.
Yarıçap uzunluğu r br olan bir çember ve bu çemberin çevresi uzunluğunda bir ip düşünelim. Bu durumda
ipi çember üzerinde sabitledikten sonra gergin bir biçimde çembere sararken uç noktasının çizdiği eğrinin parametrik denklemi:
x = r(cost+tsint) ve y = r(sint-tcost) dir.
t parametresi çemberin merkezi ile ipin çembere bağlı noktası arasındaki yarıçap doğrusunun x ekseniyle yaptığı açının ölçüsüdür.
Bu eğri altındaki alanı bulmak için, 0 <= t <= 2pi olacak biçimde
ydx integralinde y ve dx parametrik olarak yazılarak integral alınır.
Sonuç olarak r(pi+4pi3/3) bulunur.
Ayrıca merak edenler için ipin uç noktasının çizdiği eğrinin uzunluğu da 2pi2r dir.
(Bunun çözümünü daha önce detaylı olarak pdf ve animasyonlu biçimde yapmıştım, isterseniz gönderebilirim.)
Şimdi neden sorunun bu biçimde olmaması gerektiğine gelelim:
Verilen ipin uzunluğu çemberin çevresi kadar değildir. Bu durumda parametrik denklem değişmektedir.
Bu önemli bir durum değil, fakat t açısı 0<= t <= 4 olmaktadır. Bu durumda da çözüm trigonometrik değerlerle ifade edilecek biçimde bulunur. Zira integralde cos ve sin var. sin4 ve cos4 ifadeleri bulunacaktır.
Eğer soruda çemberin 3 br olan yarıçapını vermeyip, 12 br lik ipin uzunluğunun çemberin çevresine eşit olduğu belirtilirse, o zaman yukardaki formüller işe yarar.
