ÇEVREL ÇEMBER

[necmiakbulut]

Bir dik üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı R, içteğet çemberinin yarıçapı r olmak üzere R ≥ r(1 + √2) olduğunu gösteriniz.

[Lokman Gökçe]

cosA + cosB + cosC = 1 + r/R özdeşliğini biliyoruz. (forumda ispatlamıştık) İspatlamamız istenen R ≥ r.(1 + √2) eşitsizliğine denk olarak 1 + r/R ≤ √2 yazabiliriz. Trigonometrik eşitliğimizi de kullanırsak:

cosA + cosB + cosC ≤ √2

olduğunu göstermeliyiz. Üçgen dik olduğundan açılarından birisi 90^o dir. Diyelim ki C dik açıdır. CosC = 0 olduğundan biz sadece

cosA + cosB ≤ √2

olduğunu göstermeliyiz. A + B = 90^o olduğundan ispatlamamız gereken eşitsizlik cosA + sinA ≤ √2 ifadesine dönüşür. Bu ise iyi bildiğimiz bir eşitsizliktir ve (1, 1), (CosA, SinA) vektörlerine Cauchy - Schwarz - Bunyakowski eşitsizliğini tatbik edersek
1.cosA + 1.sinA ≤ √(1² + 1²).√(cos²A + sin²A) olur. Böylece aradığımız

cosA + sinA ≤ √2

eşitsizliğine ulaşırız. İspatlamak istediğimiz de tam olarak buydu. Demek ki R ≥ r.(1 + √2) eşitsizliği doğrudur ve eşitlik durumu ancak ve ancak dar açılar 45^o iken sağlanır.