YABANCI DERGİLERDEN SORULAR

[Lokman Gökçe]

Bu konunun başında bulunan henüz çözülmemiş problemlerden ikisiyle bugün uğraşmıştım. Neyse ki güç bela çözebildim  

(NOT: çözümü tek parça olarak incelemek isteyenler için PDF formatı da ilave edildi)

[Lokman Gökçe]

j.60 sorusunun çözümü...

(tek parça halinde çözümü indirmek isteyenler için PDF olarak da eklenmiştir)

[Lokman Gökçe]

Crux dergisinin Mayhem Problems bölümünden bir problem... 1 Aralık 2010'a kadar çözüm bulabilen üyelerimiz olursa çözümlerini buraya göndersinler. sizin adınıza dergiye çözümü yollayabilirim. Kasım 2011'de de çözümünüz dergide yayınlanır.

Problem M450: n bir pozitif tek sayı ise n^{n + 2} + (n + 2)ⁿ sayısının 2(n+1) ile tam bölünebildiğini gösteriniz.

[osmanekiz]

...

[muharrem]

M.314.gif te şöyle bir çözüm yapılabilir mi? her iki tarafın logaritmasını alalım.
log[a^1/x.x+a^x.1/x]=log(2a) => 1/x.loga+logx+x.loga-logx=log(2a) => 1/x+x=log(2a/a) {a>1 idi}
1/x+x=log2 olur ki x[1]=(log2)/2+kök(-4+log4) ve x[2]=(log2)/2-kök(-4+log4)

[matsever44]

burada bahsettiğiniz yabancı dergilerin bir listesi yada linkleri siz de mevcut mu acaba?gönderirseniz çok sevinirim.

[alpercay]

Pi İn The Sky dergisi  http://www.pims.math.ca/resources/publications/pi-sky

Mathematical Reflections isimli dergi  https://www.awesomemath.org/newsletter/current-issue.html

Crux Dergisi   http://www.math.ca/crux/

Netten araştırarak daha da birçok dergiye ulaşılabilir.

[matematikolimpiyati]

$(\log_7 133)^2+(\log_{19} 133)^2 > 9$ olduğunu gösteriniz.

(Crux Mathematicorum 2024)

[matematikolimpiyati]

$\log_7 19 = a$  ve  $\log_{19} 7 = \dfrac{1}{a}$  olsun. $\implies 2a=2 \cdot \log_7 19 = \log_7 19^2 = \log_7 361 > \log_7 343 =3 \implies \colorbox{orange}{$a > \dfrac{3}{2}$}$

$\begin{align}
(\log_7 133)^2+(\log_{19} 133)^2 & = (\log_7 (7 \cdot 19))^2 + (\log_{19} (19 \cdot 7))^2\\ \\
 & = (\log_7 7 + \log_7 19)^2 + (\log_{19} 19 + \log_{19} 7)^2\\ \\
 & = (1+ \log_7 19)^2 + (1 + \log_{19} 7)^2\\ \\
 & = (1+a)^2 + \left(1+\dfrac{1}{a} \right)^2 = 1+2a+a^2+1+\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{a^2} = a^2+2+\frac{1}{a^2}+2a+\dfrac{2}{a}\\ \\
 & = \left(a+\dfrac{1}{a} \right)^2 + 2 \left(a+\dfrac{1}{a} \right) = \left(a+\dfrac{1}{a} \right)^2 + 2 \left(a+\dfrac{1}{a} \right) \color{red}{+1 -1}\\ \\
& = \left(a+\dfrac{1}{a}+1 \right)^2-1
\end{align}$

Şimdi $f(x)=\left(x+\dfrac{1}{x}+1 \right)^2-1$ fonksiyonunu düşünelim. $f'(x)=2\left(x+\dfrac{1}{x}+1 \right) \left(1-\dfrac{1}{x^2} \right) = \dfrac{2(x^3-1)(x+1)}{x^3}$ olduğundan $f$ fonksiyonu $x>1$ için artandır.

Dolayısıyla $\colorbox{orange}{$a> \dfrac{3}{2}$}$ için $f(a)>f \left( \dfrac{3}{2} \right)$ olur ve böylece

$(\log_7 133)^2+(\log_{19} 133)^2 = \left(a+\dfrac{1}{a}+1 \right)^2-1 =f(a)>f \left( \dfrac{3}{2} \right) = \left( \dfrac{3}{2}+\dfrac{2}{3}+1 \right)^2-1=\dfrac{325}{36}> \dfrac{324}{36}=9$ elde edilir.

[matematikolimpiyati]

Her $x,y \in \mathbb R$ için $$(x-2)f(y)+f \big (y+2f(x) \big)=f \big (x+yf(x) \big)$$ şartını sağlayan tüm $f: \mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonlarını bulunuz.

(Mathematical Excalibur 2018)

[AtakanCİCEK]

Her $x\in R$ için $f(x)=0$  fonksiyonunun sağladığı açıktır. Diğer fonksiyonları bulalım.  Denklemde $y=0$ koyalım. Bu durumda

$$(x-2)f(0)+f(2f(x))=f(x)$$ fonksiyon her $x$  reel sayısı için $f(x)=1$ olursa $(x-2)f(0)=0$ dan çelişki gelir.

Denklemde $x=0$  koyalım. Bu durumda ise $-2f(y)+f(y+2f(0))=f(yf(0))$ gelir.  Varsayalım ki $f(0)=0$ olsun. Bu durumda $-2f(y)+f(y)=f(0)=0$ yani $f(y)=0$  gelir. Bu da $0$ fonksiyonu hariç çözüm yaptığımız için mümkün değildir. O halde $f(0)\not = 0$ .

Şimdi ise $y=0$  koyduğumuz denklemde $u,v$ reel sayıları için $f(u)=f(v)$  sağlanacak şekilde seçim yapalım ve bunları taraf tarafa çıkartalım.

$$(u-v)f(0)+(f(2f(u))-f(2f(v)))=f(u)-f(v)$$  buradan da $(u-v)f(0)=0$ gelir. $f(0)$ ın $0$  a eşit olamadığını göstermiştik. Bu durumda $f(u)=f(v)$ sağlayan reel sayılar için $u=v$  sağlandığını görürüz. Buradan bir sonuç olarak her değerin elde edilebiliyorsa ancak $1$ adet $x$ reel sayısı için elde edilebileceğini de görmüş oluruz.

$(x-2)f(0)+f(2f(x))=f(x)$ denkleminde $x=2$  yazarsak $f(2f(2))=f(2)$ ve yukarıdaki ispatımızdan dolayı $2f(2)=2$ yani $f(2)=1$ gelir. O halde $x=2$ hariç her durumda

$y_0=\dfrac{2f(x)-x}{f(x)-1}$ dönüşümünü  yapmamızda sakınca yoktur. Orijinal denklemde $(x,y_0)$  ikilisini seçelim.

Bu durumda  $$(x-2)f(y_0)+f(y_0+2f(x))=f(x+y_0f(x))=f(y_0+2f(x))$$ elde ederiz. Buradan da $f(y_0)=0$  elde ederiz ($x=2$  hariç tüm $x$ ler için bu ifade geçerli olması gerektiğinden) . Denklemde $(y_0,y)$ yazarsak

$$(y_0-2).f(y)+f(y+2f(y_0))=f(y_0+yf(y_0))$$ buradan $(y_0-1)f(y)=0$  ve $f(y)=0$  harici fonksiyonları analiz ettiğimiz için $y_0=1$ bulunur. $f(1)=0$  'ı not edelim.

Denklemde  $y=1$ alırsak $f(1+2f(x))=f(x+f(x))$ gelir. Buradan $1+2f(x)=x+f(x)$ yani $f(x)=x-1$  elde edilir.

O halde bu fonksiyonel denklemin tüm çözümleri Her $x$ reel sayısı için $f(x)=0$ veya $f(x)=x-1$ şeklindedir.

 

[AtakanCİCEK]

Crux dergisinin Mayhem Problems bölümünden bir problem... 1 Aralık 2010'a kadar çözüm bulabilen üyelerimiz olursa çözümlerini buraya göndersinler. sizin adınıza dergiye çözümü yollayabilirim. Kasım 2011'de de çözümünüz dergide yayınlanır.

Problem M450: n bir pozitif tek sayı ise n^{n + 2} + (n + 2)ⁿ sayısının 2(n+1) ile tam bölünebildiğini gösteriniz.

Bu sorunun daha güçlü versiyonunu ispatladım sanırım.
 $n$  bir pozitif tek sayı ise $(n+1)^2 \mid (n^{n+2}+(n+2)^n)$ sağlanır. Gösteriniz. (İbrahim Atakan Çiçek)

İspat:   $n+1=m$  olacak şekilde bir $m$  çift pozitif tam sayısı alalım. Bu durumda  $m^2|(m-1)^{n+2}+(m+1)^{n}$ olduğunu göstermemiz gerekir.

Binom açılımı yardımıyla $$(m-1)^{n+2}\equiv (-1)^{n+2}+(n+2).(-1)^{n+1}m \pmod {m^2}$$ . olur. Benzer şekilde.

$$(m+1)^n\equiv 1+n.m \pmod {m^2}$$ olur. Bu ikisinin toplamı $S$  olsun. Bu durumda

$$(-1+1)+(2n+2).m \equiv 2m^2 \pmod {m^2}$$ gelir. Bu da $S\equiv 0 \pmod {m^2}$  verdiği için ispat biter.

Buradan $n+1$  çift olduğu için $(n+1).(n+1)$ ile bölünebilmek demek ifademizin $2.(n+1)$  ile bölündüğünü ispatlar.


Not: Bu soru çift $n$ ler için $(-1)^a$  tipi ifadelerin işaretleri zıt olduğu için sağlanmıyor. ($n=2$ örneğiyle de test edilebilir.)