Dikdörtgenler Prizmasının Boyanması {Çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Birkaç yıl önce hazırladığım bir problemi paylaşayım

SORU (L. Gökçe): 7 çeşit renk boyaya sahibiz. Boyutları farklı uzunluklarda olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kutunun her bir yüzeyini farklı renge boyanacaktır. Kutunun döndürülmesi ile elde edilen durumların aynı olduğu varsayılmak üzere kaç farklı boyama yapılabilir?

[senior]

Hocam çözüm kısa ama daha uygun bir zamanda açıklayıcı olarak paylaşmak isterim. Cevabın 7!/2 olması lazım.

[Lokman Gökçe]

döndürmeler hesaba katılmayacak ama Güneş kardeşim. Mesela kutuyu baş aşağı çevirmek yeni bir durum oluşturmayacak. cevap 630 

[senior]

Hocam ben tam 2 katını buluyorum, şöyle ki:
1) 7 farklı boyadan 6 tanesini seçeceğiz --> C(7,6)
2) Dikdörtgenler prizmasının boyutları farklı olduğundan, 3 farklı büyüklükte yüzeyi var. Bunlara K(Küçük), O(orta), B(Büyük) diyelim. Renklerden birisini alalım, ve 3 farklı seçenekten birisini boyayalım.
3) Karşısına 5 farklı renkten birisini seçebiliriz.
4) Sonra geriye kalan yüzeyler için örnek birkaç boyama aşağıdaki gibi olur: (karşılıklı yüzeyler birbirinin aynı)
     1              1
2        3    3        2   ...
     4              4
Bu durumda sadece
     a                       d
b        c      ile    c        b    kombinasyonları birbirinin aynısıdır.
     d                       a
Yani sadece karşılıklı koltuklarının birbirinin aynı olduğu 4 kişilik bir yuvarlak masa gibi. Burada 4!/2 = 12 farklı kombinasyon bulunur.
Yani toplamda 7 x 3 x 5 x 12 = 1260 farklı boyama kombinasyonu bulunur.

Cevap farklı olduğundan başka bir yoldan daha çözdüm:
1) 7 renkten 6 sını seçelim.
2) Prizmanın küçük yüzeyini önümüze alıp baktığımızı düşünelim. Bu yüzey ve karşısı için C(6,2) = 15 farklı renk kombinasyonu seçebiliriz. Mesela (Mavi,Sarı)... Hangi yüzeyi boyadığımız önemli değil, çünkü birbirinin aynısı. Bize bakan yüzeyi Sarıya boyayıp, karşısını maviye boyarız; ya da bize bakan yüzeyi maviye boyayıp karşısını sarıya boyadıktan sonra, karşı yüzeyi bize bakacak şekilde döndürürüz; yani 2 durum aynı.
3) Sonra geriye kalan 4 yüzü boyamaya geldi sıra. Bu da bir önceki çözümün 4 numaralı adımıyla aynı. Elimizde bir dikdörtgenler prizması, bize bakan ve onun karşısındaki yüzler boyalı, yan yüzleri kaç farklı şekilde boyayabiliriz? ---> 12
Yani yine cevap 7 x 12 x 15 = 1260 çıkıyor.

Hocam, sizde çözümünüzü yazar mısınız?

[Lokman Gökçe]

7 renkten 6 tanesini C(7,6) = 7 şekilde seçeriz. Sonra paralel iki yüzey için 6 renkten 2 tanesini seçeriz. C(6,2) = 15. renklerin paralel yüzeylerdeki yer değiştirmesi farklı durum oluşturmaz. Sonra diğer paralel iki yüzey için C(4,2) = 6 olur. Son iki paralel yüzey C(2,2) = 1 yolla boyanır. Çarpma yoluyla sayalım:

7.15.6.1 = 630 bulunur.

[senior]

Dikdörtgenler prizmasının 4 yüzünü boyadık. Birinin yüzüne doğru bakıyoruz, diğer boyanan yüzeyler de alt-üst olsun. Sağ ve sol yüzeyler kaldı. Sağ = Mavi, Sol = Sarı ile Sol = Mavi, Sağ = Sarı aynı olasılık ise prizmayı bir şekilde döndürünce ve Sağımıza Mavi, Solumuza Sarı gelmesi lazım. Baktığımız doğrultuda döndürürsek bunu başarırız, ama alt ve üst yer değiştirmiş olur. Bu yüzden son seçim C(2,2)*2'dir benim kanımca. Çay kutusunun üzerinde de denedim

[Lokman Gökçe]

Şöyle bir soru sorayım: 5 farklı renkte boncuğu bir halkaya kaç farklı yolla dizeriz?

Çözüm: dairesel permütasyondan dolayı 4! diziliş yapılır. Halka alt-üst diye döndürülebildiğinden bu sayıyı 2 ye böleriz. 4!/2 = 12 olur.

Burada da aynı muhakemeyi kullanalım. cevabınızı 2 ye bölün.

[senior]

Hocam bu iş şekil çizmeden açıklığa kavuşmayacak sanırım.

[proble_m]

Eğer şekil küp olsaydı cevabı 7!/2 olurdu.
Dikdörtgenler prizması dediği için 7!/2.2.2 = 630 olacaktır.

[senior]

küp için cevap daha fazla olamaz, çünkü döndürülünce elde edilebilecek aynı durumların sayısı fazla. Ayrıca küp için cevap 210, Bilim-Teknik dergisinin çok eski bir sayısında 6 renk için 30 cevabı verilmişti.

[Lokman Gökçe]

küp için bende 6 renk ile 30 boyama, 7 renk için 210 boyama buluyorum. (7 renkle küpü boyama problemi tübitak 2008'de de sorulmuştu). küp probleminde hemfikiriz. dikdörtgen prizma konusunda görüş ayrılığımız var

[proble_m]

Evet küp için 7!/4!=210 olacak.

[Lokman Gökçe]

7! sayısını neden 4! e böldük hocam?

[proble_m]

Kaç gündür elips, hiperbol testi yazıyorum kafam şişti..
Şöyle düşünelim:
Küpü 6 renk için çözerken üst ve alt yüzey merkezlerinden geçen doğru etrafında
döndürülmesiyle elde edilen tüm durumlar 4! =24 adet özdeş olduğu için cevap 6!/4! = 30 diyorum.
7 renk durumunda da üst ve alt yüzeyler için 7.6 durum var. Diğer dört yüzey için ise 5!/4! durum var.
Bu nedenle 7.6.5!/4! = 7!/4! =210 oluyor.

Aynı mantıkla düşündüğümde, dikdörtgenler prizması için
alt ve üst yüzey merkezleri etrafında döndürülmesiyle elde edilecek farklı durum sayısı 4!/2!.2! dir.
Bu durumda alt ve üst yüzeyler için 7.6=42 durum var. Diğer dört yüzey için ise C(5,4).4!/2!.2! durum  var.
O halde cevap 7.6.C(5,4).4!/2!.2!=1260 oluyor.

Senior hocama katılıyorum.

[Lokman Gökçe]

dediğiniz şekilde 7.6 = 42 boyama yapıldığında alt-üst çevirmesi yapılınca birbirinin aynı olan durumlar gelir diye düşünüyorum. bu yüzden 2 ye bölüyorum.

Başka soru sorayım. Şunu nasıl çözersiniz:

8 farklı renk boyaya sahibiz. Bir düzgün altıgen prizmanın her bir yüzü farklı renge boyanacaktır. Prizmanın döndürülmesi ile elde edilen durumların aynı olduğu varsayılmak üzere kaç farklı boyama yapılabilir?