1000000 un üçlü çarpanlarının sayısı {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

SORU: 1000000 sayısı kaç farklı yolla üç pozitif tamsayının çarpımı olarak ifade edilebilir? Çarpanların sırasının yer değişmesi, farklı bir yazılış olarak alınmayacaktır.

[senior]

Lokman Hocam, sizin istediğiniz çözümden biraz farklı olacak sanırım, ama bakış açısı katar en azından. Cevapta herhangi a^pb^q cinsiden bir sayının (a ve b asal) 3 sayının çarpımı şeklinde kaç farklı şekilde yazılabileceğini gösterdiğim bir algoritma mevcut. 1000000 için Cevap 139

edit: başka siteden yüknenen resim silinmiş olduğu için geçersiz linki kaldırdım (scarface)

[Lokman Gökçe]

Güneş kardeşim güzel çözümün için teşekkürler. Açıklayacağım çözüm yöntemi, sayma işleminde simetri prensibine dayanıyor. Yaglom'um kombinatorikle ilgili bir kitabından öğrenmiştim bende. Önce çarpanların sırasının yer değiştirmesinin farklı bir durum olarak ele alındığı kolay problemi çözelim:

10⁶ = (2^a.5^x)(2^b.5^y)(2^c.5^z) şeklide yazalım. elbette a + b + c = x + y + z = 6 olmalıdır. Bu denklemlerin negatif olmayan tamsayılardaki çözüm sayısı C(8, 2).C(8, 2) = 28² = 784 tür.

şimdi asıl problemimize geri dönelim.
Bu 784 yazılış içinde üç çarpanın da aynı olduğu durum bir tanedir. yani a = b = c = 2, x = y = z = 2 olup 10⁶ = (2².5²)(2².5²)(2².5²) yazılır.

Şimdi 2 çarpanın aynı, üçüncüsünün farklı olduğu duruma bakalım. Yani a = b, x = y durumunu inceliyoruz. 2a + c = 6 denkleminin negatif olmayan tamsayılardaki çözümleri (a, c) = (0, 6), (1, 4), (2, 2), (3, 0) olup 4 tanedir. Benzer şekilde 2x + z = 6 denkleminin çözümleri de 4 tanedir. çarpım yoluyla sayarak 4.4 = 16 yazılış elde ederiz. fakat (a, c) = (x, z) = (2, 2) durumunda üç çarpan da aynı olduğundan bunu atalım: 16 - 1 = 15 yazılış vardır.

(2^a.5^x)(2^a.5^x)(2^{6 - 2a}.5^{6 - 2x})
(2^a.5^x)(2^{6 - 2a}.5^{6 - 2x})(2^a.5^x)
(2^{6 - 2a}.5^{6 - 2x})(2^a.5^x)(2^a.5^x)

aynı durumları ifade ettiğinden bizim bulduğumuz 784 yazılışın içinde ikisi aynı, üçüncüsü farklı olan çarpanlar 15 defa yerine 15.3 = 45 defa görünmektedir.

Şimdi üç çarpanın da farklı olduğu durumları sayalım. Bunların herbirinin çarpanlarının yer değiştirerek 3! = 6 defa göründüğünü gözönüne alarak aslında
(784 - 3.15 - 1)/6 = 123 yazılış olduğunu anlarız. Böylece toplam 1 + 15 + 123 = 139 yazılış elde ederiz.

[senior]

Lokman hocam; çözüm için teşekkürler.