$(2+\sqrt 3)^4$ sayısına en yakın tamsayı

[Lokman Gökçe]

SORU: (2 + √3)⁴ sayısına en yakın tamsayı kaçtır?

[FEYZULLAH UÇAR]

194  gibi

[senior]

Biraz düz bir çözüm, başka yollar bakacağım
(2+√3)⁴ = 97 + 56√3
1.73 < √3 < 1.74 --> 96,88 < 56√3 < 97,44 -->
193,88 < 97 + 56√3 < 194,44 her halükarda 194

[senior]

Evet, başka bir yol buldum
(2+√3)⁴ = a + √b ise
(2-√3)⁴ = a - √b 'dir.
Bu ikisini toplarsak
(2+√3)⁴ + (2-√3)⁴  = 2a eder
(2-√3)'ün 0.3'e çok yakın olduğunu(hatta küçük olduğunu biliyoruz, çünkü 1.7² = 2.89 )
Bunun dördüncü kuvveti yaklaşık(hatta küçük) 81/10000'dir, yani 0.0081
O zaman yaklaşık olarak aşağıdaki eiştlik doğrudur:
(2+√3)⁴ + 0.0081 = 2a ( a = 2⁴ + 6.2².3 + 9 = 97, binom açılımından)
sonuç olarak (2+√3)⁴ 194'e çok yakın.

[Lokman Gökçe]

tebrikler, ben de bu tür bir çözüm verecektim:

(2 + √3)⁴ + (2 - √3)⁴ = 194 tür.

Fakat (2 - √3)⁴ sayısı 1/2 den küçük olduğundan (2 + √3)⁴ sayısı 194'e 193'ten daha yakındır.

(2 - √3)⁴< 1/2 olduğunun gösterilmesi kolaydır.

[Lokman Gökçe]

Benzer bir soru daha. ama hesap makinesi gerektirmeyen bir çözüm bulmaya özen gösterelim

SORU (L. Gökçe): (1+√2)⁷ sayısına en yakın tamsayı kaçtır?

[senior]

(1+√2)⁷ = a+√b
(√2-1)⁷ = a-√b

(1+√2)⁷ + (√2-1)⁷ = 2a
a = 1 + 2C(7,2) + 4C(7,4) + 8C(7,6) = 1 + 21.2 + 35.4 + 7.8 = 239
(√2-1)⁷ < 1/2 old. sonuç 478'dir