Baltic Way 2008 den($\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=\dfrac{3}{2008}$) {çözüldü}

[orhangokce]

baltic way 2008 den...

Soru: $m<n$ pozitif tam sayılar olmak üzere $\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=\dfrac{3}{2008}$ denklemini sağlayan kaç $(m,n)$ ikilisi vardır?

[senior]

geri kalanını sonra tamamlarız diyerekten soruya şöyle basit bir çözüm getiriyorum
3/2008 = 1/2008 + 1/2008 + 1/2008 = 1/2008 + 1/1004 = 1/n + 1/m
(m,n) = (1004,2008)
Başka ikili var mı şu an söyleyemeyeceğim.

[Lokman Gökçe]

1/m + 1/n = 1/a türündeki problemler diyofont denklemlerinin olimpiyatlardaki sevilen ve klasikleşmiş soru tiplerindendir. Burada 1/m + 1/n = 1/2008 değil de 1/m + 1/n = 3/2008 sorulduğu için biraz işlem yapmamız gerekecek. Başlayalım:

Payda eşitleyip düzenlersek 2008(m+n) = 3mn olur. Bu ifadeyi tamsayı katsayılı birinci dereceden polinomların çarpımı biçiminde yazamadığımız için şöyle bir yol izleriz:

m ve n nin obeb'ini sayılar teorisindeki bilinen gösterimiyle d = (m,n) şeklinde yazarsak m = a.d, n = b.d ve (a,b) = 1olacak biçimde a, b pozitif tamsayıları vardır. Bu eşitlikleri denklemde yazarsak 2008d(a + b) = 3ab.d² olup 2008(a + b) = 3abd olur. (a,b) = 1 olduğundan Euclid algoritmasından (a, a+b) = 1, (b, a+b) = 1 dir. Yani a + b sayısı, hem a ile hem de b ile aralarında asaldır. Dolayısıyla 2008(a + b) = 3abd eşitliğine göre (a.b)|2008 ve 3|(a+b) dir. Şimdi 2008 = 2³.251 şeklinde asal çarpanlarına ayrıldığın kullanarak a ve b ye değerler verelim:

a = 1, b = 2008 için a + b = 2009 sayısı 3 ile bölünemediğinden çözüme uymaz.
a= 2, b = 1004 aralarında asal olmadığından çözüme uymaz.
a = 1, b = 2 başlangıç koşullarımıza uyar. Buradan (m,n) = (1004, 2008) çözümü elde edilir.
hem 2008 in böleni olup hem de toplamları 3 ile bölünen a,b sayılarını arıyoruz. Diğer uygun sayılar da (a,b) = (1,8), (1,251), (1,1004), (4,251) olur. Bu (a,b) çiftlerine karşılık dört (m,n) çözüm çifti daha buluruz. Yani toplamda denklemin 5 çözüm çifti vardır.

[Lokman Gökçe]

Ben de şu genel problemi sorayım:

$a>1$ verilmiş bir pozitif tam sayı olmak üzere $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{a}$ denklemi sağlayan kaç $(x,y)$ pozitif tam sayı ikilisi vardır?

[proble_m]

Genelleme yapılmadan önce verilen çözümde (m,n) ikili çözümleri için, örneğin (1004,2008) ve (2008,1004) ayrı ayrı çözüm olarak kabul edilmesi gerekmiyor mu? Yani mevcut soru için 5 değil de 10 çözüm vardır demeliyiz gibi geldi bana.

Sorulan genel problemin çözümü de eğer her (x,y) = (y,x) kabul edilirse 2^n-1 adet çözüm vardır.
(x,y) ve (y,x) birbirinden farklı çözümler ise 2ⁿ adet çözüm vardır.

[Lokman Gökçe]

Baltic way 2010 sorusunda eğer m < n verilmeseydi dediğiniz gibi tam 10 çözümü olurdu. Ama m < n şartından dolayı 5 çözüm vardır.

Diğer soruda (x,y) ile (y,x) farkı çözümler olarak alacağız. çözüm sayısını asal sayıların kuvvetleri olan a_i ler türünden ifade edebiliyoruz. Ama cevap 2ⁿ değil.

NOT: Orhan hocam, yazı stilini değiştirseniz seviniriz. Okuma güçlüğü çekiyoruz diye eleştiriler var

[proble_m]

Sorunun orjinalinde m<n yi kaçırmışım.

Sizin sorduğunuz genel problemde (x,y) = d ve x = m.d ve y = n.d eşitliklerini sağlayan m ve n pozitif tamsayıları için ((m,n)=1);
 a.(m+n)=m.n.d olur. Yani m.n | a olmalı. Bu durumda a nın aralarında asal ikili çarpanlarını bulmamız gerekiyor.

Tabii ben a = m.n kabul ederek 2ⁿ demiştim. Oysa m.n < a da olabilir

[Lokman Gökçe]

obeb ve euclid algoritması güçlü bir yöntemdir. obeb kullanmadan, çarpanlara ayırma yöntemiyle (decomposition method) de bu soruya cevap verebiliriz. (ama Baltic way sorusunu çarpanlarına ayırma ile çözemeyiz)

[proble_m]

Affınıza sığınarak, ufak bir düzeltme yapmak istiyorum.

[Lokman Gökçe]

Teşekkürler hocam, ben de o noktayı düşünüyordum. $a=p_1^{a_1}.p_2^{a_2}...p_n^{a_n}$ olmak üzere pozitif çözümlerin(sıralı ikili olarak) sayısı (2a₁+1)...(2a_n+1) iken tüm çözümlerin sayısı  2[(2a₁+1)...(2a_n+1)] - 1 olacak. Ama sebebi x - a = a, y - a = a eşitliklerinden kaynaklanmıyor. 1 çıkarmamızın sebebi x - a = - a, y - a = - a denklemlerinden (x,y) = (0,0) olur. Halbuki bu değerler 1/x + 1/y = 1/a denklemini tanımsız yapıyor.

örneğin 1/x + 1/y = 1/3 denklemini çözmek için (x - 3)(y - 3) = 9 denklemini çözmeliyiz.

x - 3 = 1, y - 3 = 9
x - 3 = 3, y - 3 = 3
x - 3 = 9, y - 3 = 1
x - 3 = - 1, y - 3 = - 9
x - 3 = - 3, y - 3 = -3 (çözüm olmaz)
x - 3 = - 9, y - 3 = -1

Buradan 5 tane (x,y) ikilisi buluruz. Önceki hatalı çözümümü düzelterek tekrar yolluyorum:

[proble_m]

Konsantre eksikliği var sanırım ben de bugün. (x,y) tamsayı ikililerini sormuşsunuz, ben pozitif olmalı diye koşullandığım için yaptım yukarıdaki açıklamayı.

[orhangokce]

x-a ve y-a çarpımı a^2 olacak.Tamam.
çarpımları a^2 olacak şekilde çözümlerden birini (!NEDEN ille de bu çözümü inceledik?) x-a=1 ve y-a=a^2 inceledik.TAMAM.
x=1+a ve y=a^2+a bulduktan sonra işte burada koptum:
"Dolayısıyla a^2 'nin bölenlerinin sayısı kadar tamsayı (x,y) ikilisi bulunabilir" bu sonuca nasıl ulaştık?
Teşekkürler..
NOT:Sizin yazdığınız şekilde yazmayı çok isterim ama nasıl yazdığınız hakkında bilgim yok.Paylaşırsanız sevinirim.

[Lokman Gökçe]

a² nin çarpanlarını sırasıyla x - a ya eşitliyoruz. Geriye kalan diğer çarpanı da mecburen y - a ya eşitleniyor. Şöyle bir örnek vereyim: 1/x + 1/y = 1/6 denklemini pozitif tamsayılarda çözelim. Bunun için

(x - 6)(y - 6) = 36 denklemini çözmeliyiz. 36 nın pozitif bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 dır.

O halde x - 6 sayısını sırasıyla 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 değerlerine eşitleriz. 36 nın pozitif bölen sayısı kadar denklem yazdığımız için elbette 36 nın pozitif bölen sayısı kadar x değeri elde ederiz. Bu x değerleri 7, 8, 9, 10, 12, 18, 24, 40 olur. 1/x + 1/y = 1/6 denkleminin 9 tane (x,y) pozitif tamsayı çözümü olur.

Şimdi de 1/x + 1/y = 1/6  denklemini sağlayan tüm (x,y) tamsayı çiftlerinin sayısını bulalım.

(x - 6)(y - 6) = 36 denklemini çözmeliyiz. 36 nın tüm bölenleri ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36 dır. Yine x - 6 çarpanını bu ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36 değerlerine eşitlersek 18 tane x değeri buluruz. Yani 36 nın tam bölenlerinin sayısı kadar (bu sayı 18) x buluyoruz. Ancak bu defa x- 6 = - 6 denkleminden elde edilen x = 0 çözümü orijinal denklemi sağlamadığından bu bir çözüm olmaz. Sonuçta 18 - 1 = 17 tane (x,y) tamsayı ikilisi vardır.

Yani x - 6 = 1, y - 6 = 36;  x - 6 = 2, y - 6 = 18;  x - 6 = 3, y - 6 = 12; .... ; x - 6 = 36, y - 6 = 1 denklemlerini ve bunların negatifleri olan
x - 6 = -1, y - 6 = -36; ... ; x - 6 = -36, y - 36 = -1 denklemlerini çözüyoruz.




El yazısını okumak zor oluyor, onu kastetmiştim. isterseniz worrde yazıp resim dosyası halinde de yollayabilirsiniz. üs yazma işleminin nasıl olduğunu merak ediyorsanız,
ÜS YAZMA İŞLEMİ: a² nasıl yazılır. Metin editörünüzde SUP tuşu vardır. Önce a yazdınız. Sonra sup tuşuna basın. [SÜP]...[/SÜP] diye bir yazı çıkar.  Bu iki tane SUP'un arasına 2 rakamını koyarsanız a² görünür.