tam küp sorusu {çözüldü}

[lazimoluyo]

pozitif a1,a2,a3.....an tamsayilari icin (a1,a2),(a2,a3),......,(an,a1) ikili carpimlarinin her birisinin bir tam küp oldugunu bilinmektedir.bu durumda a1,a2,a3,....,an sayilarinin her birisinin bir tam küp olmasi gerekir mi?soruyu asagidaki n degerleri icin cevaplayiniz...
A.n=4
B.n=2009
C.n=2010

[Lokman Gökçe]

n nin çift tamsayı değerleri için a_i, i = 1, 2, ..., n sayılarının tam küp olması gerekmez. Bunun için bir ters örnek vermek yeterlidir.

k > 0 tamsayıları için a_{2k - 1} = 2, a_2k = 4 şeklinde bir dizi tanımlayalım. Yani (a_n) = (2, 4, 2, 4, 2, 4, ..., 2, 4) dizisi olsun. Açıkça ardışık iki terimin çarpımı daima 8 = 2³ olur. Bununla beraber, dizinin terimleri tam küp değildir.

[lazimoluyo]

hocam cok tesekkür ederim fakat kafama bir şey takıldı. Çözümğnüzdeki dizi n= 4 ve n= 2010 da saglıyor yalnız
n= 2009 da saglamıyor. Bu durumu nasıl izah edebiliriz ?

[Lokman Gökçe]

Zaten n tek olursa ne olacağını açıklamadım. Sadece n = 4, n = 2010 gibi çift sayılar için çözüm verdim. Tek sayılar için henüz işlem yapmadım. Daha çözüm bitmedi

[lazimoluyo]

hocam çok özür diliyorum Simdi gördüm n in çift degerleri icin yazdığınızı Afedersiniz

[Abdullah_71]

Girdiğim sınavda çıkmış bir olimpiyat sorusudur...

Oyak mat.olimp.

[Lokman Gökçe]

n nin tek sayı değerleri için (a_n) dizisinin tüm terimleri tam küp olmak zorundadır.

Eğer terimlerden herhangi birisi tam küp ise tüm terimlerin tam küp olacağı açıktır. örneğin a₁ tam küp ise a₁.a₂ nin tam küp oluşundan a₂ de tam küp olurdu. Bu yüzden dizinin terimlerinin hiçbirinin tam küp olmadığını kabul edelim. a ve b tam küp olmayan saylar olmak üzere

a₁ = a.b².c₁³

a₂ = b.a².c₂³

...

a_{2k - 1} = a.b².c_{2k - 1}³

şeklinde olup a₁.a_{2k - 1} = a².b².c₁³.c_{2k - 1}³

bulunur. Bu çarpım tam küp olmadığından bir çelişkiye ulaşırız. Demek ki n = 2k - 1 şeklindeki tek saylar için a_n dizisinin tüm terimleri tam küp olmalıdır.