$x^2+5y^2+10z^2=4xy+6yz+2z-1$ (3 bilinmeyenli denklem)

[Lokman Gökçe]

mayıs sınavı düzeyinde bir problem ... hayırlı çalışmalar

SORU: x² + 5y² + 10z² = 4xy + 6yz + 2z - 1 denkleminin tüm (x,y,z) reel sayı üçlüsü çözümlerini bulunuz.

[FEYZULLAH UÇAR]

çzm

[Lokman Gökçe]

Mayıs düzeyinde bir problem:

SORU 2: Aşağıdaki denklem sistemini sağlayan kaç (x, y, z) reel sayı üçlüsü vardır?

(y + z)² = 2x
(z + x)² = 2y
(x + y)² = 2z

Bu da 2. sorunun değişkenleri artırılmış şekli:

SORU 3: Aşağıdaki denklem sistemini sağlayan tüm (a, b, c, d) reel sayı dörtlülerini bulunuz. (Baltic Way 2010)


(b + c + d)²⁰¹⁰ = 3a
(c + d + a)²⁰¹⁰ = 3b
(d + a + b)²⁰¹⁰ = 3c
(a + b + c)²⁰¹⁰ = 3d

[gahiax]

Lokman hocam genelliği bozamksızın ifadesini yerinde kullanmışımdır inşallah 

2. soru çözüm
genelliği bozmaksızın   x<y<z  olsun . bu durumda 1.denklem için  2x  >  (x+z)² =2y  => x>y çelişsini elde ederiz.benzer şekilde  2. denklem için   2y<(y+z)²=2x   => x>y çelişsini elde ederiz .3. denklem içinde 2z<x+z)²=2y =>y>z olup çelişkidir. bu çelişkilerden verilen 3 denlemin sağlanması için x=y=z olması gerektiği anlaşılır. buradan denklemin bir çözümü (0,0,0,)  diğer çözümü ise (1/2,1/2,1/2) olur.

[Lokman Gökçe]

x < y < z değil de x < y < z kabul etsen daha iyi olacaktı. Çünkü x < y < z durumunu inceleyince bundan başka x = y < z gibi durumlar da ortaya çıkar ki bunların da imkansızlığını göstermek gerekir.

Neyse fazla uzatmayayım, x < y < z kabul etsen genelliği bozar mı yoksa bozmaz mı  buna cevap verelim. İşin doğrusu böyle bir kabul çözümün genelliğini hiç de bozmaz. Sebebi şu: Eğer (x, y, z) = (a, b, c) bir çözüm üçlüsü ise denklem sisteminin simetrisinden dolayı (x, y, z) = (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a) üçlüleri de aynı denklemi elbette sağlar. Dolayısıyla  x < y < z kabul etsen ve bir (a, b, c) üçlüsü çözümü bulsan bunun tüm permütasyonları da çözüm olur, deyiveririz.

x < y < z yazarak başladığın için 10 üzerinden 9 verdim

[Lokman Gökçe]

Eline almışken 3. Soruyu da (Baltic Way 2010) çözüver bari H.İbrahim kardeşim

[gahiax]

  tam olarak anladım bu sefer bi dakine 10 üzerinde 10 alacam