OYAK matematik olimpiyatlarına hazırlık kitabından sorular

[lazimoluyo]

Yardımcı olursanız cok sevinirim ....Simdiden ilginize tesekkürler

1)  a ve b, (a+1)/b + (b+1)/a toplamını tam sayı yapan iki doğal sayıdır. a ve b nin ortak bölenlerinin en büyüğünün kök(a+b) den büyük olmadığını gösteriniz

2)  2^a sayısının basamakları uygun şekilde yer değiştirildiğinde 2 nin b...aşka bir kuvveti elde edilmesini sağlayan bir a tam sayısı var mıdır?

[senior]

1) (a+1)/b + (b+1)/a = (a²+a+b²+b)/ab = (a²+a+b²+b + 2ab -2ab)/ab = (a+b)²/ab + (a+b)/ab -2 = (a+b)(a+b+1)/ab - 2 ifadesi tamsayı ise (a+b)(a+b+1)/ab ifadesi tamsayı olmak zorunda. Eğer a ve b'nin ortak bölenlerinin en büyüğü kök(a+b) + 1 olursa. ab sayısı bunun karesine bölünmek zorundadır. O zaman da (kök(a+b)+1)² = a+b + 1 + 2kök(a+b) sayısı payı bölmeli. Yalnız, pay ardışık/yani aralarında asal sayıların çarpımı olduğu için paydanın en büyük böleni (a+b+1) olabilir. Bu da durum ile çelişir.

[noproblem]

2^A =X OLSUN  2^B=Y OLSUN A KÜÇÜKTÜR B OLSUN X TAM BÖLER Y OLACAKTIR Y=XK OLUR  X =S MOD9 İSE Y=S MOD 9 OLMALIDIR  S EŞİT DEĞİL SIFIR OLDUĞU İÇİN  K=1 MOD9 OLUR K=2^N OLMALI   N  EN KÜÇÜK DEĞERİ 64 OLUR OMA  X İLE 64X İN BASAMAK SAYILARI AYNI OLMADIĞI İİÇİN ÇÖZÜM ÇÖZÜM YOKTUR

[senior]

2^A =X OLSUN  2^B=Y OLSUN A KÜÇÜKTÜR B OLSUN X TAM BÖLER Y OLACAKTIR Y=XK OLUR  X =S MOD9 İSE Y=S MOD 9 OLMALIDIR  S EŞİT DEĞİL SIFIR OLDUĞU İÇİN  K=1 MOD9 OLUR K=2^N OLMALI   N  EN KÜÇÜK DEĞERİ 64 OLUR OMA  X İLE 64X İN BASAMAK SAYILARI AYNI OLMADIĞI İİÇİN ÇÖZÜM ÇÖZÜM YOKTUR

Yalnız, basamak sayıları eşit olmak zorunda değil sanırım. Sayının içindeki 0'ları başa koyabiliriz.