Üslü Eşitsizlik {Çözüldü}

[senior]

2 < x < y ve x,y tamsayı olmak üzere
x^y > y^x eşitsizliğini kanıtlayınız

[noproblem]

x^y yi (xy/y)^y diye yazabiliriz bu ifade de en büyük değerini   x=e  olduğunda alıur

Burası pek anlaşılır değil sanki.

[Lokman Gökçe]

Şöyle yapabiliriz: Verilen eşitsizliğin her iki tarafının logaritmasını alırsak göstermemiz gereken eşitsizlik

(lnx)/x > (lny)/y

biçimine dönüşür. f(x) = (lnx)/x fonksiyonunun birinci türevi alınıp sıfıra eşitlenerek x = e de maksimumu olduğu kolayca görülür. Dolayısıyla bu f fonksiyonu [e, sonsuz) aralığında monoton azalandır. x tamsayısının en az 3 olabileceği gözönüne alınırsa bu aralıktaki x < y tamsayıları için f(x) > f(y) elde edilir. Buradan aranan sonuca derhal ulaşılır.

[senior]

Tebrikler, hocam