Mustafa Töngemen'in Bir Sorusu Üzerine

[alpercay]

Mustafa Töngemen Hoca'nın bir sorusu var ekte.Bildiğim kadarıyla çözümünü yapan henüz yok ya da var da ben bilmiyorum.Aşağıda bir teorem sunacağım.Elimde bir ispatı yok.Teorem yanlış anlamadıysam Töngemen hocanın kanıtlanmasını istediği olguyla çelişiyor.Yorumlarınızı almak istiyorum.

Teorem.  En çok beş kenarı olan ve herbir kenarı tamsayı olan bir çokgen verilsin.Bu durumda  çokgenin iç bölgesinde köşelere uzaklıkları rasyonel olan bir nokta vardır.Bu olgunun doğruluğu  bütün üçgenler için bilinmektedir fakat tüm dörtgenler için doğru değildir.Tüm kenarları tamsayı olan her  beşgen için tüm köşelere uzaklıkları tamsayı olan bir iç noktanın varlığının gösterilmesi çok zor bir problem olarak gözükmektedir.

[Lokman Gökçe]

x, y, z birer rasyonel sayı olsun. a nın bir rasyonel sayı olamayacağını ispat edelim.

PBC üçgenini C noktası etrafında saatin dönme yönünde 60^o döndererek AP'C oluşturalım. PP'C üçgeni eşkenar olduğundan PP' = P'C = PC = z dir. P'A = PB = y dir. <PP'A = ß dersek <BPC = <CP'A = 60^o + ß olur. APP' üçgeninde cos. teoreminden x² = y² + z² -2yz.cosß olduğundan x' in bir rasyonel sayı olması ancak cosß nın rasyonel olması ile mümkündür.

BPC üçgenine geri dönelim. a² = y² + z² -2yz.cos(60^o + ß) olur. Burada cos(60^o + ß) = cos60^o.cosß - sin60^o.sinß bir irrasyonel olduğundan a² irrasyoneldir. Dolayısı ile a irrasyonel sayıdır.

[Lokman Gökçe]

açıkça, Mustafa Töngemen hocamızın problemi doğru ve yukarıda ifade edilen teorem (doğal olarak) yanlıştır. dörtgenler için ise, kenarları tamsayı ve çevrel yarıçapı da tamsayı olan kirişler dörtgenleri mevcut diye hatırlıyorum.(bulursam yollayayım).Dolayısıyla; çevrel merkezin, köşelere uzaklıkları tamsayı olacaktır.dörtgenler için de ters örnek bulunabilen bu teorem geçersizdir.önermenin yanlışlığından dolayı teorem demeseydim daha doğru söylemiş olurdum.artık, önerme yada iddia diyelim.

belki beşgenler ve daha yüksek kenarlı çokgenlerde 'iddia' geçerli olmaktadır.Bunu da bir açık problem olarak sunalım.