İran-2007 {çözüldü}

[Mathopia]

ABC bir üçgen ve O çevrel merkez olsun. BO ve CO; AC, AB ile B' , C' noktalarında kesişiyor. B'C' doğrusu çevrel çemberle P, Q noktalarında kesişiyor.

İspatlayınız ki, AP = AQ olması ancak ve ancak AB = AC ile mümkündür.

[ERhan ERdoğan]

P , AB yayının C'yi içermeyen , Q da AC yayının B'yi içermeyen kısmında bulunsun

AP=AQ ⇒ m(APQ)=m(AQP)=m(ABP)=m(ACQ) olduğundan,
               ΔAPB∼ΔAC'P  ve  ΔAQC∼ΔAB'Q  olur.
               Buradan, AP²=AC'.AB   ve AQ²=AB'.AC
               olup AC'.AB=AB'.AC dir. Bu sonuç B,C,B',C'  noktalarının çembersel olduğunu gösterir.
               Bu çembersellikten m(C'BO)=m(B'CO) ve m(OBC)=m(OCB) olduğundan AB=AC dir.

AB=AC ⇒ C'B'//BC dir.
               Buradan PB=QC ve m(ABP)=m(ACQ) olup,
               AP=AQ olur.