$f(x)=x^3-3x+1, f(f(x))=0 $ Bulgaristan 1998 (denklem) {Çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Sade ve hoş bir problem

f(x) = x³ - 3x +1 olsun. f(f(x)) = 0 denkleminin farklı reel çözümlerinin sayısını bulunuz. (Bulgaristan 1998)

[senior]

f(x) = x³-3x+C ise
f'(x) = 3x²-3 = 3(x-1)(x+1) = 0 ==> x = -1,1. Yani yerel min ve max'ların bulunduğu yerler.
f(-1) = 2 + C, f(1) = C - 2 olur. -2 < C < 2 olduğu sürece denklemin 3 reel kökü vardır.
C = 1 ise f(x)'in 3 tane reel kökü var. f(-2) < 0 < f(-1) ve f(1) < 0 < f(2) olduğu için kökler de bu aralıklardadır. Diğer kökte tabiki -1 ve 1 arasındadır.
Şimdi f(x)'in kökleri x₁,x₂ ve x₃ olsun. f(f(x)) = 0 için
x³-3x+1 = x_i ;(i=1,2,3) yani x³-3x+(1-x_i) = 0 olması lazım.
köklerin eşitsizlikleri şöyleydi:
-2 < x₁ < -1 < x₂ < 1 < x₃ < 2 ise 1-x değeri sadece x₁ için
[-2,2] aralığından çıkar. O zaman x₁ için tam 1 tane reel kök vardır. Diğer kökler için 3'er tane.
Toplam 7 tane reel kök var.