Gönderen Konu: Oyak Matematik Olimpiyatı-3 {Çözüldü}  (Okunma sayısı 4533 defa)

Çevrimdışı Abdullah_71

  • G.O Bağımlı Üye
  • *****
  • İleti: 106
  • Karma: +0/-0
Oyak Matematik Olimpiyatı-3 {Çözüldü}
« : Kasım 14, 2009, 05:37:05 ös »
Oyak sorularını ayrı ayrı değil de hepsini bir dosya olarak gönderirseniz seviniriz.Bu arada luzumlu değilse jpeg tercih etmeyiniz; gif formatı makbule geçer.Bir de aynı başlığı kullanmayınız  lütfen.Alper
« Son Düzenleme: Eylül 05, 2010, 05:59:43 ös Gönderen: senior »

Çevrimdışı tanermeral

  • G.O İlgili Üye
  • **
  • İleti: 14
  • Karma: +1/-0
Ynt: Oyak Matematik Olimpiyatı-3
« Yanıtla #1 : Kasım 15, 2009, 12:44:18 öö »
n=4 için cevap hayır.
sayıları a1=2 , a2=2^2  , a3=2^4  ve a4=2^5   seçersek bunların tam küp olmadığını görürüz...

Dr. Taner Meral

Çevrimdışı tanermeral

  • G.O İlgili Üye
  • **
  • İleti: 14
  • Karma: +1/-0
Ynt: Oyak Matematik Olimpiyatı-3
« Yanıtla #2 : Kasım 15, 2009, 01:00:56 öö »
2009 için hayır ama 2010 için evet.
sayılarımızın üzlerini düşünelim.ya 3k+1 yada 3k+2 şeklinde olmalıdır.eğer çift sayıda alırsak ardışık çarpımları tam küp olur
Dr. Taner Meral

Çevrimdışı Abdullah_71

  • G.O Bağımlı Üye
  • *****
  • İleti: 106
  • Karma: +0/-0
Ynt: Oyak Matematik Olimpiyatı-3
« Yanıtla #3 : Kasım 15, 2009, 01:28:41 ös »
Hocam biz
n=4 için gerekmez.
n=2009 için gerekir.
n=2010 için gerekmez.
Modüler aritmetikten gittik.
« Son Düzenleme: Kasım 15, 2009, 01:41:59 ös Gönderen: Abdullah_71 »

Çevrimdışı tnra81

  • G.O Yeni Üye
  • *
  • İleti: 1
  • Karma: +0/-0
Ynt: Oyak Matematik Olimpiyatı-3
« Yanıtla #4 : Kasım 15, 2009, 07:07:46 ös »
şimdi hocam ben de bu sınava katıldım ve cevabımı sizlerle paylaşmak istiorum eğer n=4 için işlem yaparsak:

(A1.A2)(A2.A3)(A3.A4)A4.A1) oluyor dimi....
bize denen o ki ikili çarpımlarının her biri bir tam küpmüş dimi  o zaman bunu sonucu tam küptür...

bu durumda çarpanlara ayırmanın değişme özelliğini kullanırsak
(A1.A2)(A2.A3)(A3.A1)(A4.A4) olmaz mı?

buradan da:
(A1.A2)(A2.A3)(A3.A1) bir tam küp çıkıor yine...
ve bunun yanında
(A4.A4) çıkıor.
bu sonucun tam küp olabilmesi için A4 ün tam küp olması gerekir çünkü:

bir tam küp * bir tam kare hiç bir zaman bir tam küp vermez ama

A4 sayısı bir tam küp olsa

Bir tam küp*bir tam kübün karesi her zaman tam küp verir.

bu yüzden de n=4 için her biri tam küp olması gerekir arkadaşlar vede değer vererek bulamayız bu soruyu

                                   

Çevrimdışı Abdullah_71

  • G.O Bağımlı Üye
  • *****
  • İleti: 106
  • Karma: +0/-0
Ynt: Oyak Matematik Olimpiyatı-3
« Yanıtla #5 : Kasım 15, 2009, 08:22:29 ös »
Yalnız soru da dizi kelimesi kullanılmamış yani bir çarpana göre gidip gitmediği belli değildir.n=4 için çok açıktır ki sayıların tam küp olması gerekmez.
Zaten n=4 için yazılabilir diğer şıklar için belli birdenklem bulduk biz ona göre yaptık sonrada üsleri  mod3 e göre uyarladık.

Çevrimdışı firstexample_71

  • G.O Yeni Üye
  • *
  • İleti: 6
  • Karma: +0/-0
Ynt: Oyak Matematik Olimpiyatı-3
« Yanıtla #6 : Kasım 21, 2009, 01:57:18 ös »
bu soruda şöyle yapmıştık abdullahın dediği gibi modu kullanmıştık.
n=4için herbir sayının küp olmadığı açıktır.

n=2009 için ise şöyle bir şey bulduk:
an=xüzeri 2 üzeri n-1 şeklinde olsa
a1=x
a2=xüzeri2
a3=x üzeri 2 üzeri2

a2009=xüzeri 2üzeri2008 olur  a1.a2, a2.a3,...... küp olur fakat  a2009.a1=x üzeri 2 üzeri2008 +1 küp olamaz  çünkü 2üzeri 2008 +1 mod3 te 2 olur bundan dolayı herbirinin küp olması  gerekir

n=2010 için ise yine aynı kural üzerinden gidersek
a1=x
a2=xüzeri2
a3=xüzeri2üzeri2



a2009=x üzeri 2 üzeri 2008
a2010=xüzeri 2 üzeri 2009 olur   buradan a1.a2,a2.a3,........... küp olduğu açıktır bizim için önemli nokta an.a1 in küp olması bakıyoruz a2010.a1=x üzeri 2 üzeri 2009 +1 üssünü de mod3 te alırsak mod3 te 0 olduğu için bir tamsayının kübü olur.n=2010 için her bir sayının tam küp olması gerekmez












Çevrimdışı firstexample_71

  • G.O Yeni Üye
  • *
  • İleti: 6
  • Karma: +0/-0
Ynt: Oyak Matematik Olimpiyatı-3
« Yanıtla #7 : Kasım 21, 2009, 02:03:13 ös »
tnra81 arkadaşım
n=4 için herbirinin küp olmadığı çok açıktır.
çünkü;
a1=x
a2=xüzeri2
a3=x üzeri4
a4=x üzeri 8 olsa a1.a2=x üzeri3  a2.a3=x üzeri6  a3.a4=x üzeri12  a4.a1=x üzeri9  olur yada
a1=2
a2=4
a3=2
a4=4 şeklinde olsa bile n=4 için herbirinin küp olması gerekmez.

 bu arada hangi okuldan katıldın?

Çevrimdışı Ferhat GÖLBOL

  • G.O Bağımlı Üye
  • *****
  • İleti: 165
  • Karma: +2/-0
Ynt: Oyak Matematik Olimpiyatı-3
« Yanıtla #8 : Şubat 05, 2010, 08:32:16 ös »
Hocam
 a1 =x , a2 =x2 ve
a2k =x2 , a2k+1 =x alırsak,n=çift sayı için ardışık iki terimin çarpımı x3 eder. Ayrıca ilk terim x ve son terim x2 olduğundan a1*an=x3 olur. Dolayısıyla n=çift sayı için koşul sağlanır.

Öte yandan n=tek sayı ise;
An3  , an'deki tam küp olan ifadeyi göstermek üzere,
a1 = A13 *x ise
a2 = A23 *x2 ve a3 = A33 *x olmalıdır.
a2k = A2k3 *x2 ,
a2k+1 = A2k+13 *x ve
a1 = A13 *x
an = An3 *x olacağından a1 * an = (A1*An)3 *x2 bir tam küp olmaz.
Benzer şekilde a1 = A13 *x2 alınırsa
a2k = A2k3 *x ,
a2k+1 = A2k+13 *x2 ve
a1 = A13 *x2
an = An3 *x2 olacağından
 a1 * an = (A1*An)3 *x4 de bir tam küp olmaz. Dolayısıyla n=tek sayı ise verilen koşul sağlanmaz.


"Biz bilimadamları kumsalda çakıl taşları arayan çocuklar gibiyizdir. Eğer ben arkadaşlarımdan biraz daha fazla çakıl taşı toplayabildiysem bunun nedeni dizlerime kadar suya girmeye cesaret edebilmiş olmamdır."
Sir Isaac Newton

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal