$ax^2+bx+a$ polinomunun köklerinin birim çember üzerinde olması {Çözüldü}

[senior]

ax²+bx+a polinomunun köklerinin birim çember üzerinde olması için b ve a arasında nasıl bir ilişki olmalıdır?

[ibrahimsenturk]

umarım doğru düşünmüşümdür...

[senior]

karmaşık kökleri düşünmemişsiniz

[Lokman Gökçe]

genelliği bozmakdan a > 0 kabul edebilriz.

|b| < 2a iken karmaşık sayı kökler birim çember üzerinde oluyor.

|b| = 2a iken çift katlı reel kökler vardır. x = 1, x = -1 sayıları da açıkça birim çember üzerindedir.

1.hal için ip ucu verelim: karmaşık kökler için diskriminant = b² - 4a² nin negatif olması halini inceleyiniz.

[senior]

lokman hocam, elinize sağlık. Diğer yolu da ben paylaşayım
a ve b reel olduğu için kökler karmaşık kökler eşlenik halinde olur. (karmaşık olması için disk < 0,
Reel kökler için zaten ibrahim bey çözmüş)
Bir kök  z ise diğer kök z* 'tir. zz* = a/a = 1 ve zz* = |z|² --> |z|² = 1 yani |z| = 1 ve |z*|=1

[Lokman Gökçe]

yani karmaşık sayı kökler varsa bunlar kesinlikle birim çember üzerine düşer diyoruz. sizin çözümünüz de güzel Güneş kardeşim. Elinize sağlık

[senior]

Lokman hocam, çözümü tam yazmadınız, benim gibi düşündüyseniz affola
Soruya ufak bi ekleme yapalım, bu da benzer bir yolla çözülüyor:
ax³+bx²+bx+a polinomunun köklerinin birim çember üzerinde olması için a ve b arasında nasıl bir ilişki olmalıdır?

[Lokman Gökçe]

diskriminantın üç durumunu inceledim ben. D > 0 için kökler mutlak değerce 1'den büyük oluyor. yani |b| > 2a halinde kökler birim çember üzerinde değildir.

D = 0 için çakışık kökler vardır. yani |b| = 2a halinde kökler açıkça 1 ya da -1 dir.

D < 0 için karmaşık kökler vardır. b² - 4a² < 0 dersek buradan |b| < 2a durumunu incelemek gerekiyor. ikinci dereceden denklemin köklerini veren bağıntıyı yazıp mutlak değerini 1'e eşitledim. Özdeş olarak sağlanıyor. Yani 1 = 1 çıkıyor. Demek ki |b| < 2a iken karmaşık kökler elde edilir ve daima birim çember üzerine bulunurlar, dedim

Bunların hepsini birleştirirsek ax² + bx + a = 0 denkleminde köklerin birim çember üzerinde olması için gerek ve yeter şart |b| < 2a (köçük veya eşit olabilir) eşitsizliğinin sağlanmasıdr.

[Lokman Gökçe]

Diğer 3. dereceden denklem sorusunda da köklerden birisi açıkça -1 dir. Yazarsak sağladığı görülüyor. Bu kök zaten birim çember üzerindedir. Bundan sonrasında polinom bölmesi yapılarak 2. dereceden bir denkleme düşürürüz. Ya da doğrudan çarpanlarına ayırırız:

(x + 1).(ax² + (b - a)x + a) = 0

denklemini buluruz. İkinci derece denklemin baş katsayısı ve sabit terimi eşit olduğundan önceki ispatladığımız özellikten dolayı |b - a| < 2a olması, köklerin birim çember üzerinde bulunması için gerekli ve yeterdir.

[senior]

Tebrikler hocam, güzel tespit