model üçgen - P noktası

[geo]

$ABC$ üçgeninin iç bölgesinde alınan $P$ noktası için $\angle BAP = a_1, \angle ACP = a_2, \angle CBP = a_3, \angle CAP = b_1, \angle BCP = b_2, \angle ABP = b_3$ olmak üzere; Ceva Teoreminin Trigonometrik Hali gereğince,

$$\prod_{i=1}^{3}\frac{\sin a_i}{\sin b_i} = \frac{\sin a_1}{\sin b_1}\cdot\frac{\sin a_2}{\sin b_2}\cdot\frac{\sin a_3}{\sin b_3} = 1$$

Bu eşitlikte $a_i$ler kendi aralarında ve $b_j$ler kendi aralarında yer değiştirdiğinde eşitlik korunur; yani grup içindeki açıların sırası önemsizdir. Bir soru tipi, iki gruptan (A grubu: $a_1,a_2,a_3$ ve B grubu: $b_1,b_2,b_3$) oluşur.

Gösterim. Bir soruyu $(\ \cdots\ :\ \cdots\ )\Longrightarrow(\ \cdots\ )$ biçiminde yazalım. Buradaki kurallar:

• Bir paket $(\ \cdots\ )$ bir açı takımıdır; içindeki $:$ işareti A grubu ile B grubunu ayırır.
• Grup içindeki açıların sırası önemsizdir.
• $\Longrightarrow$ solundaki paket verilen açıları, sağındaki paket bulunacak açıları gösterir.
• Sağ pakette $:$ varsa iki bilinmeyen farklı gruplardandır (2+2 tipi, tek çözüm). Sağ pakette $:$ yoksa iki bilinmeyen aynı gruptandır ve sıraları serbesttir; bu tipler numaraya $*$ eklenerek gösterilir (3+1 tipi).

Bir modelin başlığı, o modelin altı açısını tam olarak verir. Açılar üçgen şartlarını sağlamak kaydıyla parametriktir (örneğin $t$ ve $30^\circ-t$ bir arada ise $0^\circ<t<30^\circ$).

Aşağıda bilinen model soruları ve her modelin türettiği soru tipleri listelenmiştir. Her model için 2+2 tipinde $9$, 3+1 tipinde ($*$) $6$ soru tipi bulunur.

Model 1: $(t,\ 30^\circ,\ 90^\circ-3t\ :\ 2t,\ 30^\circ-t,\ 30^\circ+t)$

$\begin{array}{llcl}
1.1 & (t, 30^\circ : 2t, 30^\circ-t) & \Longrightarrow & (90^\circ-3t : 30^\circ+t) \\
1.2 & (t, 30^\circ : 2t, 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (90^\circ-3t : 30^\circ-t) \\
1.3 & (t, 30^\circ : 30^\circ-t, 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (90^\circ-3t : 2t) \\
1.4 & (t, 90^\circ-3t : 2t, 30^\circ-t) & \Longrightarrow & (30^\circ : 30^\circ+t) \\
1.5 & (t, 90^\circ-3t : 2t, 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (30^\circ : 30^\circ-t) \\
1.6 & (t, 90^\circ-3t : 30^\circ-t, 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (30^\circ : 2t) \\
1.7 & (30^\circ, 90^\circ-3t : 2t, 30^\circ-t) & \Longrightarrow & (t : 30^\circ+t) \\
1.8 & (30^\circ, 90^\circ-3t : 2t, 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (t : 30^\circ-t) \\
1.9 & (30^\circ, 90^\circ-3t : 30^\circ-t, 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (t : 2t) \\
1.10^* & (t, 30^\circ, 90^\circ-3t : 2t) & \Longrightarrow & (30^\circ-t, 30^\circ+t) \\
1.11^* & (t, 30^\circ, 90^\circ-3t : 30^\circ-t) & \Longrightarrow & (2t, 30^\circ+t) \\
1.12^* & (t, 30^\circ, 90^\circ-3t : 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (2t, 30^\circ-t) \\
1.13^* & (t : 2t, 30^\circ-t, 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (30^\circ, 90^\circ-3t) \\
1.14^* & (30^\circ : 2t, 30^\circ-t, 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (t, 90^\circ-3t) \\
1.15^* & (90^\circ-3t : 2t, 30^\circ-t, 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (t, 30^\circ) \\
\end{array}$

Model 2: $(t,\ 30^\circ-2t,\ 90^\circ+t\ :\ 2t,\ 30^\circ-2t,\ 30^\circ)$

$\begin{array}{llcl}
2.1 & (t, 30^\circ-2t : 2t, 30^\circ-2t) & \Longrightarrow & (90^\circ+t : 30^\circ) \\
2.2 & (t, 30^\circ-2t : 2t, 30^\circ) & \Longrightarrow & (90^\circ+t : 30^\circ-2t) \\
2.3 & (t, 30^\circ-2t : 30^\circ-2t, 30^\circ) & \Longrightarrow & (90^\circ+t : 2t) \\
2.4 & (t, 90^\circ+t : 2t, 30^\circ-2t) & \Longrightarrow & (30^\circ-2t : 30^\circ) \\
2.5 & (t, 90^\circ+t : 2t, 30^\circ) & \Longrightarrow & (30^\circ-2t : 30^\circ-2t) \\
2.6 & (t, 90^\circ+t : 30^\circ-2t, 30^\circ) & \Longrightarrow & (30^\circ-2t : 2t) \\
2.7 & (30^\circ-2t, 90^\circ+t : 2t, 30^\circ-2t) & \Longrightarrow & (t : 30^\circ) \\
2.8 & (30^\circ-2t, 90^\circ+t : 2t, 30^\circ) & \Longrightarrow & (t : 30^\circ-2t) \\
2.9 & (30^\circ-2t, 90^\circ+t : 30^\circ-2t, 30^\circ) & \Longrightarrow & (t : 2t) \\
2.10^* & (t, 30^\circ-2t, 90^\circ+t : 2t) & \Longrightarrow & (30^\circ-2t, 30^\circ) \\
2.11^* & (t, 30^\circ-2t, 90^\circ+t : 30^\circ-2t) & \Longrightarrow & (2t, 30^\circ) \\
2.12^* & (t, 30^\circ-2t, 90^\circ+t : 30^\circ) & \Longrightarrow & (2t, 30^\circ-2t) \\
2.13^* & (t : 2t, 30^\circ-2t, 30^\circ) & \Longrightarrow & (30^\circ-2t, 90^\circ+t) \\
2.14^* & (30^\circ-2t : 2t, 30^\circ-2t, 30^\circ) & \Longrightarrow & (t, 90^\circ+t) \\
2.15^* & (90^\circ+t : 2t, 30^\circ-2t, 30^\circ) & \Longrightarrow & (t, 30^\circ-2t) \\
\end{array}$

Model 3: $(t,\ 60^\circ-4t,\ 60^\circ+t\ :\ 3t,\ 30^\circ-2t,\ 30^\circ+t)$

$\begin{array}{llcl}
3.1 & (t, 60^\circ-4t : 3t, 30^\circ-2t) & \Longrightarrow & (60^\circ+t : 30^\circ+t) \\
3.2 & (t, 60^\circ-4t : 3t, 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (60^\circ+t : 30^\circ-2t) \\
3.3 & (t, 60^\circ-4t : 30^\circ-2t, 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (60^\circ+t : 3t) \\
3.4 & (t, 60^\circ+t : 3t, 30^\circ-2t) & \Longrightarrow & (60^\circ-4t : 30^\circ+t) \\
3.5 & (t, 60^\circ+t : 3t, 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (60^\circ-4t : 30^\circ-2t) \\
3.6 & (t, 60^\circ+t : 30^\circ-2t, 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (60^\circ-4t : 3t) \\
3.7 & (60^\circ-4t, 60^\circ+t : 3t, 30^\circ-2t) & \Longrightarrow & (t : 30^\circ+t) \\
3.8 & (60^\circ-4t, 60^\circ+t : 3t, 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (t : 30^\circ-2t) \\
3.9 & (60^\circ-4t, 60^\circ+t : 30^\circ-2t, 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (t : 3t) \\
3.10^* & (t, 60^\circ-4t, 60^\circ+t : 3t) & \Longrightarrow & (30^\circ-2t, 30^\circ+t) \\
3.11^* & (t, 60^\circ-4t, 60^\circ+t : 30^\circ-2t) & \Longrightarrow & (3t, 30^\circ+t) \\
3.12^* & (t, 60^\circ-4t, 60^\circ+t : 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (3t, 30^\circ-2t) \\
3.13^* & (t : 3t, 30^\circ-2t, 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (60^\circ-4t, 60^\circ+t) \\
3.14^* & (60^\circ-4t : 3t, 30^\circ-2t, 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (t, 60^\circ+t) \\
3.15^* & (60^\circ+t : 3t, 30^\circ-2t, 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (t, 60^\circ-4t) \\
\end{array}$

Model 4: $(t,\ 30^\circ-t,\ 90^\circ-t\ :\ 2t,\ 30^\circ-t,\ 30^\circ)$

$\begin{array}{llcl}
4.1 & (t, 30^\circ-t : 2t, 30^\circ-t) & \Longrightarrow & (90^\circ-t : 30^\circ) \\
4.2 & (t, 30^\circ-t : 2t, 30^\circ) & \Longrightarrow & (90^\circ-t : 30^\circ-t) \\
4.3 & (t, 30^\circ-t : 30^\circ-t, 30^\circ) & \Longrightarrow & (90^\circ-t : 2t) \\
4.4 & (t, 90^\circ-t : 2t, 30^\circ-t) & \Longrightarrow & (30^\circ-t : 30^\circ) \\
4.5 & (t, 90^\circ-t : 2t, 30^\circ) & \Longrightarrow & (30^\circ-t : 30^\circ-t) \\
4.6 & (t, 90^\circ-t : 30^\circ-t, 30^\circ) & \Longrightarrow & (30^\circ-t : 2t) \\
4.7 & (30^\circ-t, 90^\circ-t : 2t, 30^\circ-t) & \Longrightarrow & (t : 30^\circ) \\
4.8 & (30^\circ-t, 90^\circ-t : 2t, 30^\circ) & \Longrightarrow & (t : 30^\circ-t) \\
4.9 & (30^\circ-t, 90^\circ-t : 30^\circ-t, 30^\circ) & \Longrightarrow & (t : 2t) \\
4.10^* & (t, 30^\circ-t, 90^\circ-t : 2t) & \Longrightarrow & (30^\circ-t, 30^\circ) \\
4.11^* & (t, 30^\circ-t, 90^\circ-t : 30^\circ-t) & \Longrightarrow & (2t, 30^\circ) \\
4.12^* & (t, 30^\circ-t, 90^\circ-t : 30^\circ) & \Longrightarrow & (2t, 30^\circ-t) \\
4.13^* & (t : 2t, 30^\circ-t, 30^\circ) & \Longrightarrow & (30^\circ-t, 90^\circ-t) \\
4.14^* & (30^\circ-t : 2t, 30^\circ-t, 30^\circ) & \Longrightarrow & (t, 90^\circ-t) \\
4.15^* & (90^\circ-t : 2t, 30^\circ-t, 30^\circ) & \Longrightarrow & (t, 30^\circ-t) \\
\end{array}$

Model 5: $(t,\ r,\ 90^\circ-r-t\ :\ t,\ r,\ 90^\circ-r-t)$ (iki grup özdeş)

$\begin{array}{llcl}
5.1 & (t, r : t, r) & \Longrightarrow & (90^\circ-r-t : 90^\circ-r-t) \\
5.2 & (t, r : t, 90^\circ-r-t) & \Longrightarrow & (90^\circ-r-t : r) \\
5.3^* & (t, r, 90^\circ-r-t : t) & \Longrightarrow & (r, 90^\circ-r-t) \\
5.4^* & (t, r, 90^\circ-r-t : r) & \Longrightarrow & (t, 90^\circ-r-t) \\
5.5^* & (t, r, 90^\circ-r-t : 90^\circ-r-t) & \Longrightarrow & (t, r) \\
\end{array}$

Not: Grupların yer değiştirmesiyle (A ile B) elde edilen soru tipleri farklı üçgenler belirtse de, basit sentetik ya da trigonometrik işlemlerle birbirine dönüştürülebildiğinden aynı model altında toplanmıştır. Ayrıca aynı soruyu ifade eden başka parametrik açılar da vardır; örneğin $t \mapsto 30^\circ-t$ değişimiyle $(t, 30^\circ, 90^\circ-3t : 2t, 30^\circ-t, 30^\circ+t)$ ile $(30^\circ-t, 30^\circ, 3t : 60^\circ-2t, t, 60^\circ-t)$ aynı modeli belirtir.

Bir soru tipinin hangi model(ler)e ait olduğunu bulmak için model-bulucu sayfasındaki programı kullanabilirsiniz.

Örnek: meşhur $10^\circ, 10^\circ, 10^\circ, 20^\circ$ sorusu ($t=10^\circ$) Model 2'nin $2.1$ tipine uyar:
$$(10^\circ, 10^\circ : 20^\circ, 10^\circ)\Longrightarrow(90^\circ+t : 30^\circ-2t) = (100^\circ : 10^\circ)$$


Not 1:
Diğer modeller aşağıdaki iletide verilmiştir.

Not 2:
model-bulucu

Not 3:
Sorulara verilen çözümler, bu iletide toplanmıştır.

Not 4:
* ile gösterilen soruların genel çözümü; aşağıdaki iletide verilmiştir.

[geo]

Bu konu matematik dergilerinde Langley's Adventitious Angles olarak irdelenmiş.

Derece cinsinden açıların rasyonel olduğu durumlar akademik olarak The number of intersection points made by diagonals of a regular polygon adlı makalede kapsamlı ele alınmış. Bu durumun oluşması için düzgün çokgenlerde 3 köşegenin kesişmesi gerektiği sonucu üzerine düzgün çokgen üzerinde bu modellemeler yapılmış. Düzgün çokgenlerde kaç köşegenenin tek bir noktada kesişebildiği, düzgün çokgende köşegenlerin kesişiminden oluşan nokta sayıları gibi farklı noktalar da tespit edilmiş. Daha detaylı okumalar için ilgili makalelerdeki referanslara bakabilirsiniz.

Bir aileye ait olmayan tüm soru tipleri aşağıdaki tabloda hangi çokgene ait olduklarına göre sıralanmış bir şekilde verilmiş. Bağıntı Türü sütunu (bu makalede anlatılan şekliyle) birbirinden türetilebilen modelleri göstermekte. (Açılar $180^\circ$ ile çarpılmalıdır.)
$$
\begin{array}{c||c|c|c|c||c|c|c||c}
\text{Çokgen} & \text {Model #}   & a_1 & a_2 & a_3 & b_1 & b_2 & b_3
      & \text{Bağıntı Türü} \\ \hline \hline
30 & 6 & 1/10 & 2/15 & 3/10 & 2/15 & 1/6 & 1/6
      & 2(R_5:R_3) \\
 & 7 & 1/15 & 1/15 & 7/15 & 1/15 & 1/10 & 7/30 & \\
 & 8 & 1/30 & 7/30 & 4/15 & 1/15 & 1/10 & 3/10 & \\
 & 9 & 1/30 & 1/10 & 7/15 & 1/15 & 1/15 & 4/15 & \\
 & 10 & 1/30 & 1/15 & 19/30 & 1/15 & 1/10 & 1/10 & \\ \hline
 & 11 & 1/15 & 1/6 & 4/15 & 1/10 & 1/10 & 3/10
      & (R_5:R_3)+2R_3 \\
 & 12 & 1/15 & 2/15 & 11/30 & 1/10 & 1/6 & 1/6 & \\
 & 13 & 1/30 & 1/6 & 13/30 & 1/10 & 2/15 & 2/15 & \\
 & 14 & 1/30 & 1/30 & 7/10 & 1/30 & 1/15 & 2/15 & \\ \hline
 & 15 & 1/30 & 7/30 & 3/10 & 1/15 & 2/15 & 7/30
      & R_5+R_3+2R_2 \\
 & 16 & 1/30 & 1/6 & 11/30 & 1/15 & 1/10 & 4/15 & \\
 & 17 & 1/30 & 1/10 & 13/30 & 1/30 & 2/15 & 4/15 & \\
 & 18 & 1/30 & 1/15 & 8/15 & 1/30 & 1/10 & 7/30 & \\ \hline
42 & 19 & 1/14 & 5/42 & 5/14 & 2/21 & 5/42 & 5/21
      & (R_7:5R_3) \\
 & 20 & 1/21 & 4/21 & 13/42 & 1/14 & 1/6 & 3/14 & \\
 & 21 & 1/42 & 3/14 & 5/14 & 1/21 & 1/6 & 4/21 & \\
 & 22 & 1/42 & 1/6 & 19/42 & 1/14 & 2/21 & 4/21 & \\
 & 23 & 1/42 & 1/6 & 13/42 & 1/21 & 1/14 & 8/21 & \\
 & 24 & 1/42 & 1/21 & 13/21 & 1/42 & 1/14 & 3/14 & \\ \hline
60 & 25 & 1/20 & 1/12 & 29/60 & 1/15 & 1/10 & 13/60
      & 2(R_5:R_3) \\
 & 26 & 1/20 & 1/12 & 9/20 & 1/15 & 1/12 & 4/15 & \\
 & 27 & 1/20 & 1/12 & 5/12 & 1/20 & 1/10 & 3/10 & \\
 & 28 & 1/60 & 4/15 & 3/10 & 1/20 & 1/12 & 17/60 & \\
 & 29 & 1/60 & 13/60 & 9/20 & 1/12 & 1/10 & 2/15 & \\
 & 30 & 1/60 & 13/60 & 5/12 & 1/20 & 2/15 & 1/6 & \\ \hline
 & 31 & 1/12 & 1/6 & 17/60 & 2/15 & 3/20 & 11/60
      & (R_5:3R_3)+2R_2 \\
 & 32 & 1/12 & 2/15 & 19/60 & 1/10 & 3/20 & 13/60 & \\
 & 33 & 1/15 & 11/60 & 13/60 & 1/12 & 1/10 & 7/20 & \\
 & 34 & 1/20 & 11/60 & 3/10 & 1/12 & 7/60 & 4/15 & \\
 & 35 & 1/20 & 1/10 & 23/60 & 1/15 & 1/12 & 19/60 & \\
 & 36 & 1/30 & 7/60 & 19/60 & 1/20 & 1/15 & 5/12 & \\
 & 37 & 1/30 & 1/12 & 7/12 & 1/15 & 1/10 & 2/15 & \\
 & 38 & 1/30 & 1/20 & 11/20 & 1/30 & 1/15 & 4/15 & \\
 & 39 & 1/60 & 3/10 & 7/20 & 1/12 & 7/60 & 2/15 & \\
 & 40 & 1/60 & 4/15 & 23/60 & 1/12 & 1/10 & 3/20 & \\
 & 41 & 1/60 & 7/30 & 5/12 & 1/15 & 7/60 & 3/20 & \\
 & 42 & 1/60 & 13/60 & 11/30 & 1/20 & 1/12 & 4/15 & \\
 & 43 & 1/60 & 1/6 & 31/60 & 1/15 & 1/10 & 2/15 & \\
 & 44 & 1/60 & 1/6 & 5/12 & 1/20 & 1/15 & 17/60 & \\
 & 45 & 1/60 & 2/15 & 9/20 & 1/30 & 1/12 & 17/60 & \\
 & 46 & 1/60 & 1/10 & 31/60 & 1/30 & 1/15 & 4/15 & \\ \hline
84 & 47 & 1/12 & 3/14 & 19/84 & 11/84 & 13/84 & 4/21
      & (R_7:R_3)+2R_2 \\
 & 48 & 1/14 & 11/84 & 23/84 & 1/12 & 2/21 & 29/84 & \\
 & 49 & 1/21 & 13/84 & 23/84 & 1/14 & 1/12 & 31/84 & \\
 & 50 & 1/42 & 1/12 & 7/12 & 1/21 & 1/14 & 4/21 & \\
 & 51 & 1/84 & 25/84 & 5/14 & 5/84 & 1/12 & 4/21 & \\
 & 52 & 1/84 & 5/21 & 5/12 & 5/84 & 1/14 & 17/84 & \\
 & 53 & 1/84 & 3/14 & 37/84 & 1/21 & 1/12 & 17/84 & \\
 & 54 & 1/84 & 1/6 & 43/84 & 1/21 & 1/14 & 4/21 & \\ \hline
90 & 55 & 1/18 & 13/90 & 7/18 & 11/90 & 2/15 & 7/45
      & (R_5:R_3)+2R_3 \\
 & 56 & 1/45 & 19/90 & 16/45 & 1/18 & 1/10 & 23/90 & \\
 & 57 & 1/90 & 23/90 & 31/90 & 2/45 & 1/15 & 5/18 & \\
 & 58 & 1/90 & 17/90 & 47/90 & 1/18 & 4/45 & 2/15 & \\ \hline
120 & 59 & 13/120 & 3/20 & 31/120 & 2/15 & 19/120 & 23/120 &
      (R_5:R_3)+3R_2 \\
 & 60 & 1/12 & 19/120 & 29/120 & 1/10 & 13/120 & 37/120 & \\
 & 61 & 1/20 & 23/120 & 29/120 & 1/15 & 13/120 & 41/120 & \\
 & 62 & 1/60 & 13/120 & 73/120 & 1/20 & 1/12 & 2/15 & \\
 & 63 & 1/120 & 7/20 & 43/120 & 7/120 & 11/120 & 2/15 & \\
 & 64 & 1/120 & 3/10 & 49/120 & 7/120 & 1/12 & 17/120 & \\
 & 65 & 1/120 & 4/15 & 53/120 & 1/20 & 11/120 & 17/120 & \\
 & 66 & 1/120 & 13/60 & 61/120 & 1/20 & 1/12 & 2/15 & \\ \hline
210 & 67 & 1/15 & 41/210 & 8/35 & 1/14 & 31/210 & 61/210
      & (R_7:(R_5:2R_3)) \\
 & 68 & 13/210 & 1/10 & 83/210 & 1/14 & 4/35 & 9/35 & \\
 & 69 & 1/35 & 2/15 & 97/210 & 1/14 & 17/210 & 47/210 & \\
 & 70 & 1/210 & 3/14 & 121/210 & 11/210 & 1/15 & 3/35 & \\ \hline
\end{array}
$$

Değerler $180^\circ$ ile çarpılmış ve Model # sırasına göre verilmiş hali:
$$
\begin{array}{c||c|c|c|c||c|c|c||c}
\text{Çokgen} & \text{Model #} & a_1 & a_2 & a_3 & b_1 & b_2 & b_3 & \text{Bağıntı Türü} \\ \hline \hline
30 & 6 & 18 & 24 & 54 & 24 & 30 & 30 & 2(R_5:R_3) \\
  & 7 & 12 & 12 & 84 & 12 & 18 & 42 &   \\
  & 8 & 6 & 42 & 48 & 12 & 18 & 54 &   \\
  & 9 & 6 & 18 & 84 & 12 & 12 & 48 &   \\
  & 10 & 6 & 12 & 114 & 12 & 18 & 18 &   \\
  & 11 & 12 & 30 & 48 & 18 & 18 & 54 & (R_5:R_3)+2R_3 \\
  & 12 & 12 & 24 & 66 & 18 & 30 & 30 &   \\
  & 13 & 6 & 30 & 78 & 18 & 24 & 24 &   \\
  & 14 & 6 & 6 & 126 & 6 & 12 & 24 &   \\
  & 15 & 6 & 42 & 54 & 12 & 24 & 42 & R_5+R_3+2R_2 \\
  & 16 & 6 & 30 & 66 & 12 & 18 & 48 &   \\
  & 17 & 6 & 18 & 78 & 6 & 24 & 48 &   \\
  & 18 & 6 & 12 & 96 & 6 & 18 & 42 &   \\ \hline
42 & 19 & 90/7 & 150/7 & 450/7 & 120/7 & 150/7 & 300/7 & (R_7:5R_3) \\
  & 20 & 60/7 & 240/7 & 390/7 & 90/7 & 30 & 270/7 &   \\
  & 21 & 30/7 & 270/7 & 450/7 & 60/7 & 30 & 240/7 &   \\
  & 22 & 30/7 & 30 & 570/7 & 90/7 & 120/7 & 240/7 &   \\
  & 23 & 30/7 & 30 & 390/7 & 60/7 & 90/7 & 480/7 &   \\
  & 24 & 30/7 & 60/7 & 780/7 & 30/7 & 90/7 & 270/7 &   \\ \hline
60 & 25 & 9 & 15 & 87 & 12 & 18 & 39 & 2(R_5:R_3) \\
  & 26 & 9 & 15 & 81 & 12 & 15 & 48 &   \\
  & 27 & 9 & 15 & 75 & 9 & 18 & 54 &   \\
  & 28 & 3 & 48 & 54 & 9 & 15 & 51 &   \\
  & 29 & 3 & 39 & 81 & 15 & 18 & 24 &   \\
  & 30 & 3 & 39 & 75 & 9 & 24 & 30 &   \\
  & 31 & 15 & 30 & 51 & 24 & 27 & 33 & (R_5:3R_3)+2R_2 \\
  & 32 & 15 & 24 & 57 & 18 & 27 & 39 &   \\
  & 33 & 12 & 33 & 39 & 15 & 18 & 63 &   \\
  & 34 & 9 & 33 & 54 & 15 & 21 & 48 &   \\
  & 35 & 9 & 18 & 69 & 12 & 15 & 57 &   \\
  & 36 & 6 & 21 & 57 & 9 & 12 & 75 &   \\
  & 37 & 6 & 15 & 105 & 12 & 18 & 24 &   \\
  & 38 & 6 & 9 & 99 & 6 & 12 & 48 &   \\
  & 39 & 3 & 54 & 63 & 15 & 21 & 24 &   \\
  & 40 & 3 & 48 & 69 & 15 & 18 & 27 &   \\
  & 41 & 3 & 42 & 75 & 12 & 21 & 27 &   \\
  & 42 & 3 & 39 & 66 & 9 & 15 & 48 &   \\
  & 43 & 3 & 30 & 93 & 12 & 18 & 24 &   \\
  & 44 & 3 & 30 & 75 & 9 & 12 & 51 &   \\
  & 45 & 3 & 24 & 81 & 6 & 15 & 51 &   \\
  & 46 & 3 & 18 & 93 & 6 & 12 & 48 &   \\ \hline
84 & 47 & 15 & 270/7 & 285/7 & 165/7 & 195/7 & 240/7 & (R_7:R_3)+2R_2 \\
  & 48 & 90/7 & 165/7 & 345/7 & 15 & 120/7 & 435/7 &   \\
  & 49 & 60/7 & 195/7 & 345/7 & 90/7 & 15 & 465/7 &   \\
  & 50 & 30/7 & 15 & 105 & 60/7 & 90/7 & 240/7 &   \\
  & 51 & 15/7 & 375/7 & 450/7 & 75/7 & 15 & 240/7 &   \\
  & 52 & 15/7 & 300/7 & 75 & 75/7 & 90/7 & 255/7 &   \\
  & 53 & 15/7 & 270/7 & 555/7 & 60/7 & 15 & 255/7 &   \\
  & 54 & 15/7 & 30 & 645/7 & 60/7 & 90/7 & 240/7 &   \\ \hline
90 & 55 & 10 & 26 & 70 & 22 & 24 & 28 & (R_5:R_3)+2R_3 \\
  & 56 & 4 & 38 & 64 & 10 & 18 & 46 &   \\
  & 57 & 2 & 46 & 62 & 8 & 12 & 50 &   \\
  & 58 & 2 & 34 & 94 & 10 & 16 & 24 &   \\ \hline
120 & 59 & 39/2 & 27 & 93/2 & 24 & 57/2 & 69/2 & (R_5:R_3)+3R_2 \\
  & 60 & 15 & 57/2 & 87/2 & 18 & 39/2 & 111/2 &   \\
  & 61 & 9 & 69/2 & 87/2 & 12 & 39/2 & 123/2 &   \\
  & 62 & 3 & 39/2 & 219/2 & 9 & 15 & 24 &   \\
  & 63 & 3/2 & 63 & 129/2 & 21/2 & 33/2 & 24 &   \\
  & 64 & 3/2 & 54 & 147/2 & 21/2 & 15 & 51/2 &   \\
  & 65 & 3/2 & 48 & 159/2 & 9 & 33/2 & 51/2 &   \\
  & 66 & 3/2 & 39 & 183/2 & 9 & 15 & 24 &   \\ \hline
210 & 67 & 12 & 246/7 & 288/7 & 90/7 & 186/7 & 366/7 & (R_7:(R_5:2R_3)) \\
  & 68 & 78/7 & 18 & 498/7 & 90/7 & 144/7 & 324/7 &   \\
  & 69 & 36/7 & 24 & 582/7 & 90/7 & 102/7 & 282/7 &   \\
  & 70 & 6/7 & 270/7 & 726/7 & 66/7 & 30 & 108/7 &   \\
\end{array}
$$


Aşağıdaki tabloda ise açı ölçüsüne göre sıralanmış bir biçimde modeller listelenmekte.
$$
\begin{array}{c|c|c||c|c|c||c}
a_1 & a_2 & a_3 & b_1 & b_2 & b_3 & \text{Model #} \\ \hline \hline
6/7 & 270/7 & 726/7 & 66/7 & 12 & 108/7 & 70 \\ \hline
3/2 & 39 & 183/2 & 9 & 15 & 24 & 66 \\ \hline
3/2 & 48 & 159/2 & 9 & 33/2 & 51/2 & 65 \\ \hline
3/2 & 54 & 147/2 & 21/2 & 15 & 51/2 & 64 \\ \hline
3/2 & 63 & 129/2 & 21/2 & 33/2 & 24 & 63 \\ \hline
2 & 34 & 94 & 10 & 16 & 24 & 58 \\ \hline
2 & 46 & 62 & 8 & 12 & 50 & 57 \\ \hline
15/7 & 30 & 645/7 & 60/7 & 90/7 & 240/7 & 54 \\ \hline
15/7 & 270/7 & 555/7 & 60/7 & 15 & 255/7 & 53 \\ \hline
15/7 & 300/7 & 75 & 75/7 & 90/7 & 255/7 & 52 \\ \hline
15/7 & 375/7 & 450/7 & 75/7 & 15 & 240/7 & 51 \\ \hline
3 & 18 & 93 & 6 & 12 & 48 & 46 \\ \hline
3 & 39/2 & 219/2 & 9 & 15 & 24 & 62 \\ \hline
3 & 24 & 81 & 6 & 15 & 51 & 45 \\ \hline
3 & 30 & 75 & 9 & 12 & 51 & 44 \\ \hline
3 & 30 & 93 & 12 & 18 & 24 & 43 \\ \hline
3 & 39 & 66 & 9 & 15 & 48 & 42 \\ \hline
3 & 39 & 75 & 9 & 24 & 30 & 30 \\ \hline
3 & 39 & 81 & 15 & 18 & 24 & 29 \\ \hline
3 & 42 & 75 & 12 & 21 & 27 & 41 \\ \hline
3 & 48 & 54 & 9 & 15 & 51 & 28 \\ \hline
3 & 48 & 69 & 15 & 18 & 27 & 40 \\ \hline
3 & 54 & 63 & 15 & 21 & 24 & 39 \\ \hline
4 & 38 & 64 & 10 & 18 & 46 & 56 \\ \hline
30/7 & 60/7 & 780/7 & 30/7 & 90/7 & 270/7 & 24 \\ \hline
30/7 & 15 & 105 & 60/7 & 90/7 & 240/7 & 50 \\ \hline
30/7 & 30 & 390/7 & 60/7 & 90/7 & 480/7 & 23 \\ \hline
30/7 & 30 & 570/7 & 90/7 & 120/7 & 240/7 & 22 \\ \hline
30/7 & 270/7 & 450/7 & 60/7 & 30 & 240/7 & 21 \\ \hline
36/7 & 24 & 582/7 & 90/7 & 102/7 & 282/7 & 69 \\ \hline
6 & 6 & 126 & 6 & 12 & 24 & 14 \\ \hline
6 & 9 & 99 & 6 & 12 & 48 & 38 \\ \hline
6 & 12 & 96 & 6 & 18 & 42 & 18 \\ \hline
6 & 12 & 114 & 12 & 18 & 18 & 10 \\ \hline
6 & 15 & 105 & 12 & 18 & 24 & 37 \\ \hline
6 & 18 & 78 & 6 & 24 & 48 & 17 \\ \hline
6 & 18 & 84 & 12 & 12 & 48 & 9 \\ \hline
6 & 21 & 57 & 9 & 12 & 75 & 36 \\ \hline
6 & 30 & 66 & 12 & 18 & 48 & 16 \\ \hline
6 & 30 & 78 & 18 & 24 & 24 & 13 \\ \hline
6 & 42 & 48 & 12 & 18 & 54 & 8 \\ \hline
6 & 42 & 54 & 12 & 24 & 42 & 15 \\ \hline
60/7 & 195/7 & 345/7 & 90/7 & 15 & 465/7 & 49 \\ \hline
60/7 & 240/7 & 390/7 & 90/7 & 30 & 270/7 & 20 \\ \hline
9 & 15 & 75 & 9 & 18 & 54 & 27 \\ \hline
9 & 15 & 81 & 12 & 15 & 48 & 26 \\ \hline
9 & 15 & 87 & 12 & 18 & 39 & 25 \\ \hline
9 & 18 & 69 & 12 & 15 & 57 & 35 \\ \hline
9 & 33 & 54 & 15 & 21 & 48 & 34 \\ \hline
9 & 69/2 & 87/2 & 12 & 39/2 & 123/2 & 61 \\ \hline
10 & 26 & 70 & 22 & 24 & 28 & 55 \\ \hline
78/7 & 18 & 498/7 & 90/7 & 144/7 & 324/7 & 68 \\ \hline
12 & 12 & 84 & 12 & 18 & 42 & 7 \\ \hline
12 & 24 & 66 & 18 & 30 & 30 & 12 \\ \hline
12 & 30 & 48 & 18 & 18 & 54 & 11 \\ \hline
12 & 33 & 39 & 15 & 18 & 63 & 33 \\ \hline
12 & 246/7 & 288/7 & 90/7 & 186/7 & 366/7 & 67 \\ \hline
90/7 & 150/7 & 450/7 & 120/7 & 150/7 & 300/7 & 19 \\ \hline
90/7 & 165/7 & 345/7 & 15 & 120/7 & 435/7 & 48 \\ \hline
15 & 24 & 57 & 18 & 27 & 39 & 32 \\ \hline
15 & 57/2 & 87/2 & 18 & 39/2 & 111/2 & 60 \\ \hline
15 & 30 & 51 & 24 & 27 & 33 & 31 \\ \hline
15 & 270/7 & 285/7 & 165/7 & 195/7 & 240/7 & 47 \\ \hline
18 & 24 & 54 & 24 & 30 & 30 & 6 \\ \hline
39/2 & 27 & 93/2 & 24 & 57/2 & 69/2 & 59 \\ \hline
\end{array}
$$

Diğer Kaynaklar:

https://www.mathpages.com/home/kmath734/kmath734.htm
https://www.mathpages.com/home/kmath277/kmath277.htm

[geo]

İlk iletide tanımlanan soru modellerinin irdelendiği iletiler listesi:

Model 1.1
Model 1.2
Model 1.3
Model 1.6
Model 1.7
Model 1.9

Model 2.1
Model 2.2
Model 2.3
Model 2.6
Model 2.7
Model 2.9



Model 3.4
Model 3.6

Model 4.1
Model 4.2
Model 4.3
Model 4.5
Model 4.6
Model 4.7
Model 4.9

Model 5.1


Model 14.1

Model 32
Model 32.6

Model 33.5

Model 56.8

[AtakanCİCEK]

Model 32.6

[geo]

Foruma model tespiti için bir sayfa ekledim:
https://geomania.org/forum/index.php?action=model-bulucu#20,10,30,40

[geo]

$A:B$ gruplarından $2$ şer açı verildiği durumda, tek çözüm oluyor.
Gruplardan birinden $3$, diğerinden $1$ açı verildiğinde ise çözüm sayısı iki oluyor.

Bu durumu önce trigonometrik olarak ispatlayalım.

$\dfrac {\sin a_1}{\sin b_1}\dfrac {\sin a_2}{\sin x}\dfrac {\sin a_3}{\sin y} = 1$ denklemini çözmeye çalışıyoruz.

$\dfrac {\sin a_1}{\sin b_1}\dfrac {\sin a_2}{\sin x}\dfrac {\sin a_3}{\sin y} = \dfrac {\sin a_1}{\sin b_1}\dfrac {\sin a_2}{\sin b_2}\dfrac {\sin a_3}{\sin b_3} = 1$ olduğunu biliyoruz.

Bu durumda, $\sin x \sin y = \sin b_2 \sin b_3$ ve $x+y = b_2 + b_3$ elimizdeki bilgiler.
Trigonometrik dönüşümle $\cos (x-y) - \cos (x+y) = \cos (b_2 - b_3) - \cos (b_2 + b_3)$, buradan da $\cos (x-y) = \cos (b_2-b_3)$ elde edilir.
$x-y = |b_2 - b_3|$ ve $x+y = b_2 + b_3$ denklem sisteminin çözümü $(x,y)=(b_2,b_3)$ ya da $(x,y)=(b_3, b_2)$ dir. Bu da iki çözüm olduğu anlamına gelir.


Bu durumu geometrik olarak da şu şekilde gösterebiliriz.

$AC$ üzerinde, $\angle ADP = b_2$ olacak şekilde $D$ noktası alalım. $D$ noktası $C$ ile çakışık ise cevabımız $(x,y)=(b_3, b2)$ dir.
Değilse, problemimiz $(a_1, a_2 : b_1, b_3) \Longrightarrow (a_3:b_2)$ problemine döner.
Bu durumda, $\angle BDP = \angle BCP = a_3$ olduğu için $C,D,P,B$ çembersel olur. Buradan da $\angle ADP = \angle CBP = b_2$ olur.

import olympiad;

pair A = (4,8);
pair C = (0,0);
pair B = (10,0);
pair P = (4.2,3.8);

path cc = circumcircle(C, P, B);
path lineAC = (C + 2*(A-C)) -- (A + 2*(C-A));
pair[] ip = intersectionpoints(cc, lineAC);
real d0 = (ip[0].x-C.x)*(ip[0].x-C.x) + (ip[0].y-C.y)*(ip[0].y-C.y);
real d1 = (ip[1].x-C.x)*(ip[1].x-C.x) + (ip[1].y-C.y)*(ip[1].y-C.y);
pair D = ip[0];
if (d0 < d1) D = ip[1];

draw(A--B--C--cycle, black+1);
draw(A--P, black+1);
draw(B--P, black+1);
draw(C--P, black+1);

// yeni cizilen adimlar (kirmizi), cevrel cember kesikli
draw(cc, red+dashed);
draw(D--P, red+1);
draw(D--B, red+1);

markangle("$b_1$", P, A, B, radius=0.8, black);
markangle("$a_1$", C, A, P, radius=0.8, black);
markangle("$y$", P, C, A, radius=0.8, red);
markangle("$a_3$", B, C, P, radius=0.8, black);
markangle("$a_2$", A, B, P, radius=0.8, black);
markangle("$x$", P, B, C, radius=0.8, red);

markangle("$b_2$", P, D, A, radius=0.5, red);
markangle("$a_3$", B, D, P, radius=0.5, blue);

dot("$D$", D, dir(180), red);
dot("$A$", A, N);
dot("$B$", B, SE);
dot("$C$", C, SW);
dot("$P$", P, dir(50));

$D$ noktası $AC$ nin uzantısı üzerinde ($C$ nin ötesinde) ise durum şu şekilde görünür:

import olympiad;

pair A = (4,8);
pair C = (0,0);
pair B = (10,0);
pair P = (6.2,2.4);

path cc = circumcircle(C, P, B);
path lineAC = (C + 3*(C-A)) -- (A + 0.3*(A-C));
pair[] ip = intersectionpoints(cc, lineAC);
real d0 = (ip[0].x-C.x)*(ip[0].x-C.x) + (ip[0].y-C.y)*(ip[0].y-C.y);
real d1 = (ip[1].x-C.x)*(ip[1].x-C.x) + (ip[1].y-C.y)*(ip[1].y-C.y);
pair D = ip[0];
if (d0 < d1) D = ip[1];

draw(A--B--C--cycle, black+1);
draw(A--P, black+1);
draw(B--P, black+1);
draw(C--P, black+1);
draw(C--D, black+dashed);

// yeni cizilen adimlar (kirmizi), cevrel cember kesikli
draw(cc, red+dashed);
draw(D--P, red+1);
draw(D--B, red+1);

markangle("$b_1$", P, A, B, radius=0.8, black);
markangle("$a_1$", C, A, P, radius=0.8, black);
markangle("$y$", P, C, A, radius=0.7, red);
markangle("$a_3$", B, C, P, radius=0.7, black);
markangle("$a_2$", A, B, P, radius=0.8, black);
markangle("$x$", P, B, C, radius=0.8, red);

markangle("$b_2$", P, D, A, radius=0.6, red);
markangle("$a_3$", B, D, P, radius=0.6, blue);

dot("$D$", D, SW, red);
dot("$A$", A, N);
dot("$B$", B, SE);
dot("$C$", C, dir(120));
dot("$P$", P, dir(60));

Bu yaptığımız geometrik çözümden çıkan sonuç, bu tip soruları (x.10, x.11., x.12, x.13, x.14, x.15 soruları) diğer 9 sorudan birine benzeterek çözebiliriz.

[geo]

Çok hoş bir çözüm gibi durmasa da, bir model ailesine ait bir çözüm biliniyorsa diğer sorularının çözümleri ondan türetilebilir.

Mesela, Model x.j sorusu sorulsun ve Model x.i nin çözümü bilinsin.
Model x.j'deki bilinmeyen açının derecesine eşit olacak şekilde bir nokta alıp, Model x.i'deki bilgileri kullanırsak aldığımız nokta ile üçgenin köşesinin çakışık olduğu sonucu çıkar.

[geo]

ラングレーの問題にトドメをさす!―4点の作る小宇宙完全ガイド
Putting the final blow to Langley's problem!—A complete guide to the microcosm created by 4 points
Hiroshi Saito adındaki amatör matematikçinin bu konuda bir kitabı var:
https://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4768703402/tsujimotter07-22/?dplnkId=9879d6fe-b5ff-4e28-9bcf-e6c140c66b97