$n^3+23$ Tam Kare

[senior]

n³ + 23 sayısını tam kare yapan bütün n'leri bulunuz.

[AtakanCİCEK]

$n^3+23=k^2$ , $k\in Z$ alalım. Denklemde her iki tarafa $4$ eklersek

$$n^3+27=(n+3).(n^2-3n+9)=k^2+4$$ elde edilir.   Modüler analiz yardımıyla $k^2+4$  ya tektir ya da çiftse $k^2+4\equiv 0(mod4)$  sağlanmalıdır. Diğer taraftan Gauss Lemma'sı yardımıyla $k^2+4$ ün $p\equiv 3(mod4)$ formunda asal çarpanı varsa $p|k$ ve $p|2$ olması gerektiğinden bu formda asal çarpanı olmadığını görürüz.

$n\equiv 0(mod4)$ olsun. O halde $n+3\equiv 3(mod4)$ elde edilir. Yani en az bir adet $p$ asalı bulunur. Çelişki .

$n\equiv 1(mod4)$ olsun. O halde $n^2\equiv 1(mod4)$ olur ve $n^2-3n+9\equiv 3(mod4)$ yani bir $p$ asalı vardır. Çelişki.

$n\equiv 2(mod4)$ olsun. O halde $n^2-3n+9\equiv 3(mod4)$ olur yani bir $p$ asalı vardır. Çelişki.

O halde $n=4x+3,x\in Z$ vardır. $(4x+3)^3+27\equiv 2(mod4)$ olur. Çelişki.

O halde hiçbir $n$ sayısı için bu ifade tam kare olamaz. İspat biter.