Merdiven {Çözüldü}

[senior]

8 basamaklı bir merdivenin en üst basamağına çıkmak istiyoruz. Her adımda 1 ya da 2 basamak hareket edebiliriz. Kaç farklı şekilde çıkabiliriz?

[semihyagci]

1)2'lik adımı kullanmayalım. 8 basamağı 1'er adımlarla 1 şekilde tamamlarız.(1-1-1-1-1-1-1-1)=>(8!/8!=1 şekilde)
2)bir kez 2'lik adımı kullanalım. 8 basamağı 7 şekilde tamamlarız.(1-1-1-1-1-1-2)=>(7!/6!=7 şekilde)
3)iki kez 2'lik adımı kullanalım. 8 basamağı 15 şekilde tamamlarız. (1-1-1-1-2-2)=>(6!/(4!.2!)=15 şekilde)
4)üç kez 2'lik adımı kullanalım. 8 basamağı 10 şekilde tamamlarız.(1-1-2-2-2)=>(5!/(2!.3!)=10 şekilde)
5)dört kez 2'lik adımı kullanalım. 8 basamağı 1 şekilde tamamlarız.(2-2-2-2)=>(4!/4!=1 şekilde)
Toplam da ise 1+7+15+10+1=34 şekilde çıkılabilir.

[senior]

Tebrikler hocam 
Şimdi soruyu biraz zorlaştıralım; bir adımda geçebileceğimiz basamak sayısı 1,2 ya da 3 olsun. Aynı uzunluktaki merdiveni bu sefer kaç farklı şekilde çıkabiliriz?

[semihyagci]

teşekkürler hocam. bu da ikincinin çözümü. inşaallah hata yapmamışımdır

1)2'lik adımı kullanmayalım.
   a)3'lük adımı kullanmayalım.(1-1-1-1-1-1-1-1)(8!/8!=1 şekilde)
   b)3'lük adımı bir kez kullanalım.(1-1-1-1-1-3)(6!/5!=6 şekilde)
   c)3'lük adımı iki kez kullanalım.(1-1-3-3)(4!/(2!.2!)=6 şekilde)
2)bir kez 2'lik adımı kullanalım.
   a)3'lük adımı kullanmayalım.(1-1-1-1-1-1-2)(7!/6!=7 şekilde)
   b)3'lük adımı bir kez kullanalım.(1-1-1-2-3)(5!/3!=20 şekilde)
   c)3'lük adımı iki kez kullanalım.(2-3-3)(3!/2!=3 şekilde)
3)iki kez 2'lik adımı kullanalım.
   a)3'lük adımı kullanmayalım.(1-1-1-1-2-2)(6!/(4!.2!)=15 şekilde)
   b)3'lük adımı bir kez kullanalım.(1-2-2-3)(4!/2!=12 şekilde)
4)üç kez 2'lik adımı kullanalım.
   a)3'lük adımı kullanmayalım.(1-1-2-2-2)(5!/(2!.3!)=10 şekilde)
5)dört kez 2'lik adımı kullanalım.
   a)3'lük adımı kullanmayalım.(2-2-2-2)(4!/4!=1 şekilde)
Toplam da ise 1+6+6+7+20+3+15+12+10+1=81 şekilde çıkılabilir.

[senior]

Tebrikler, doğru hesaplamışsınız hocam, şimdi biraz daha zorlaştıralım .
Merdiven sayısını 15 yapalım
Bu yolla biraz zor olur gibi ama 

[semihyagci]

hocam kusura bakmayın daha kısa bir yoldan çözersem göndereceğim.

8 basamak çıkalım.
1)2'lik adımı kullanmayalım.
   a)3'lük adımı kullanmayalım.(1-1-1-1-1-1-1-1)(8!/8!=1 şekilde)
   b)3'lük adımı bir kez kullanalım.(1-1-1-1-1-3)(6!/5!=6 şekilde)
   c)3'lük adımı iki kez kullanalım.(1-1-3-3)(4!/(2!.2!)=6 şekilde)
2)bir kez 2'lik adımı kullanalım.
   a)3'lük adımı kullanmayalım.(1-1-1-1-1-1-2)(7!/6!=7 şekilde)
   b)3'lük adımı bir kez kullanalım.(1-1-1-2-3)(5!/3!=20 şekilde)
   c)3'lük adımı iki kez kullanalım.(2-3-3)(3!/2!=3 şekilde)
3)iki kez 2'lik adımı kullanalım.
   a)3'lük adımı kullanmayalım.(1-1-1-1-2-2)(6!/(4!.2!)=15 şekilde)
   b)3'lük adımı bir kez kullanalım.(1-2-2-3)(4!/2!=12 şekilde)
4)üç kez 2'lik adımı kullanalım.
   a)3'lük adımı kullanmayalım.(1-1-2-2-2)(5!/(2!.3!)=10 şekilde)
5)dört kez 2'lik adımı kullanalım.
   a)3'lük adımı kullanmayalım.(2-2-2-2)(4!/4!=1 şekilde)
Toplam da ise 1+6+6+7+20+3+15+12+10+1=81 şekilde çıkılabilir.

7 basamak çıkalım.
1)2'lik adımı kullanmayalım.
   a)3'lük adımı kullanmayalım.(1-1-1-1-1-1-1)(7!/7!=1 şekilde)
   b)3'lük adımı bir kez kullanalım.(1-1-1-1-3)(5!/4!=5 şekilde)
   c)3'lük adımı iki kez kullanalım.(1-3-3)(3!/2!=3 şekilde)
2)bir kez 2'lik adımı kullanalım.
   a)3'lük adımı kullanmayalım.(1-1-1-1-1-2)(6!/5!=6 şekilde)
   b)3'lük adımı bir kez kullanalım.(1-1-2-3)(4!/2!=12 şekilde)
3)iki kez 2'lik adımı kullanalım.
   a)3'lük adımı kullanmayalım.(1-1-1-2-2)(5!/(3!.2!)=10 şekilde)
   b)3'lük adımı bir kez kullanalım.(2-2-3)(3!/2!=3 şekilde)
4)üç kez 2'lik adımı kullanalım.
   a)3'lük adımı kullanmayalım.(1-2-2-2)(4!/3!=4 şekilde)
Toplam da ise 1+5+3+6+12+10+3+4=44 şekilde çıkılabilir.

6 basamak çıkalım.
1)2'lik adımı kullanmayalım.
   a)3'lük adımı kullanmayalım.(1-1-1-1-1-1)(6!/6!=1 şekilde)
   b)3'lük adımı bir kez kullanalım.(1-1-1-3)(4!/3!=4 şekilde)
   c)3'lük adımı iki kez kullanalım.(3-3)(2!/2!=1 şekilde)
2)bir kez 2'lik adımı kullanalım.
   a)3'lük adımı kullanmayalım.(1-1-1-1-2)(5!/4!=5 şekilde)
   b)3'lük adımı bir kez kullanalım.(1-2-3)(3!=6 şekilde)
3)iki kez 2'lik adımı kullanalım.
   a)3'lük adımı kullanmayalım.(1-1-2-2)(4!/(2!.2!)=6 şekilde)
4)üç kez 2'lik adımı kullanalım.
   a)3'lük adımı kullanmayalım.(2-2-2)(3!/3!=1 şekilde)
Toplam da ise 1+4+1+5+6+6+1=24 şekilde çıkılabilir.

5 basamak çıkalım.
1)2'lik adımı kullanmayalım.
   a)3'lük adımı kullanmayalım.(1-1-1-1-1)(5!/5!=1 şekilde)
   b)3'lük adımı bir kez kullanalım.(1-1-3)(3!/2!=3 şekilde)
2)bir kez 2'lik adımı kullanalım.
   a)3'lük adımı kullanmayalım.(1-1-1-2)(4!/3!=4 şekilde)
   b)3'lük adımı bir kez kullanalım.(2-3)(2!=2 şekilde)
3)iki kez 2'lik adımı kullanalım.
   a)3'lük adımı kullanmayalım.(1-2-2)(3!/2!=3 şekilde)
Toplam da ise 1+3+4+2+3=13 şekilde çıkılabilir.

Öncelikle 8 çıksın, ardından 7 çıksın.(81.44=3564 şekilde)
Kimi zaman ise 8'i aşacaktır.
   *)3 adımlıkla 1 basamak aşsın.
   yani 6 çıksın, sonra 3 adım atsın, sonra da 6 adım çıksın.
   bu ise 24.1.24=576 yol ile çıkabilir.
   *)3 adımlıkla 2 basamak aşsın.
   yani 7 çıksın, sonra 3 adım, sonra da 5 adım çıksın.
   bu ise 44.1.13=572 yol ile çıkabilir.
   *)son olarak da 2 adımlıkla 1 basamak aşsın.
   yani 7 çıksın, sonra 2 adım, sonra da 6 adım çıksın.
   bu ise 44.1.24=1056 yoldur.
bunların hepsini toplarsak; 3564+576+572+1056=5768 yol eder.

[senior]

Tebrikler semih bey, cevap doğru, sabrınıza diyecek yok valla . Farklı çözüm paylaşmadan önce sizi bekleyeceğim

Edit: Alternatif çözümler çıkmazsa, 1-2 güne diğer çözümü paylaşacağım

[senior]

8 basamaklı bir merdivenin en üst basamağına çıkmak istiyoruz. Her adımda 1 ya da 2 basamak hareket edebiliriz. Kaç farklı şekilde çıkabiliriz?

Alternatif Çözüm
merdivenin 8.basamağına son adımımız 2 farklı şekilde olabilir. Biri 7.basamaktan 1 basamak yukarı çıkarak, diğeri 6.basamaktan direkt 2 basamak yukarı çıkarak. Yani 8. basamağa kaç farklı şekilde ulaşabileceğimiz, 6. basamağa ve 7. basamağa farklı çıkış sayılarının toplamıdır.
Fonksiyon olarak göstermek istersek, f(8 ) = f(7) + f(6)
Benzer şekilde f(7) = f(6) + f(5) ... f(n) = f(n-1) + f(n-2)
1.basamağa 1 şekilde çıkabiliriz, f(1) = 1 ve 2.basamağa { 1-1, 2 } yani 2 farklı şekilde çıkabiliriz, f(2) = 2.
O zaman bu dizi 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... ( Fibonacci - 0.eleman hariç )
sorumuzun cevabı 34'tür. Diğer sorularda aynı mantıkla çözülebilir.

Soruyu biraz daha ilerletelim:
Tek adımda 1 yada 2 basamak çıkılarak, N basamaklı bir merdivene kaç farklı şekilde çıkılabilir?

[Ferhat GÖLBOL]

Benzer bir soru da ben sorayım.
Bir koridorun, boyutları 2 x 11m olan dikdörtgen biçimindeki tabanı, boyutları 1 x 2m olan aynı tür halılarla, halılar birbirinin üstünü örtmeksizin kaplanmak isteniyor. Bu iş kaç farklı şekilde yapılabilir?
    (1998 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatı, 2. aşama, lise 3 sorularından)

[senior]

11 basamaklı merdiven, 1 veya 2 adım atabiliyoruz gibi düşünürsek (f(n) : 2 x n halı için)
f(n) = f(n-1) +f(n-2) Fibonacci dizisi halinde devam eder
f(1) = 1; f(2) = 2
f(3) = f(2) + f(1) = 2 + 1
...
f(11) = 144

[Ferhat GÖLBOL]

Anadolu Üniversitesi'nden Doç. Dr. Emrah Akyar 'ın konuyla ilgili bir araştırması..

[Lokman Gökçe]

nette arama yaparak bulduğum ders notlarının geri kalanlarını da arşive ekledim

http://geomania.org/forum/fantezi-cebir-arsivi/ayrik-matematik/msg7904/?topicseen#msg7904