$arctan(b) - arctan(a) < b - a$ {Çözüldü}

[Lokman Gökçe]

daha önce düşünülmüş bir problem ise kusurumuz affola

her a < b reel sayısı için arctan(b) - arctan(a) < b - a olduğunu ispatlayınız. (L. Gökçe)

[senior]

b = a +dx
Türeve benzetelim
arctan(a+dx)-arctan(a)   < 1
                dx
f(x+dx)-f(x)  < 1
       dx
arctan(x) 'in türevi 1/(1+x²)
yani karşı kenar 1 --> (arctan(b)-arctan(a))
diğer dik kenar 1+x² --> (b-a)
1 < 1+x² ve arctan(x) monoton artan old. eşitsizlik
sağlanır

[Tamer]

lagrange ortalama değer teoreminden yararlanarak ;

f(x)= arctanx seçip [b,a] aralağında lagrange ortalama değer teoremi uygulayalım ;

(arctanb-arctana)/(b-a) =f'(c)=1/(1+c²)  olacak şekilde en az bir b<c<a sayısı vardır.

şimdi ;  1=1  => 1+c²>₌   => 1/(1+c²)<₌1


Şu halde ;  (arctanb-arctana)/(b-a)=1/(1+c²<₌1 => (arctanb-arctana)<₌b-a
bulunur.