max min problemleri {Çözüldü}

[corpsebride]

maximum minumum değerleri

[Lokman Gökçe]

Murat Özarslan hocam gözden kaçan bu soruya bakmam için işaret etti,

A şıkkının cevabını veriyorum:

KOMPAKT KÜMELER ÜZERİNDE SÜREKLİ FONKSİYONLAR İÇİN MAX-MİN TEOREMİ: f fonksiyonu kompakt K kümesi üzerinde sürekli ise f, bu K üzerinde bir mutlak maksimuma ve bir de mutlak minimuma sahiptir.

İSPAT: Bu çok kullaışlı teormein ispatı ise oldukça kolaydır. K kompakt olduğundan f(K) da kompakttır. Kompakt f(K) kümesi sınırlıdır, yani f fonksiyonu K üzerinde sınırlıdır. Kompakt f(K) kümesi bir infimum ve bir supremum içerir. Böylece f, K üzerinde bir mutlak maksimuma ve bir de mutlak minimuma sahiptir.

şimdi sorudaki F(x,y) = e^{u(x,y) + v(x,y)} fonksiyonuna dönelim. u ve v fonksiyonları ilgili noktalarda türevli olduklarından aynı zamanda sürekli de olurlar. doğal olarak e^{u + v} fonksiyonu da süreklidir. sorudaki verilen D diski kapalı ve sınırlı olduğundan D kompakt bir kümedir. Kompakt küme üzerinde sürekli fonksiyonlar için max - min teoreminin şartları sağlandığı için F(x,y) = e^{u(x,y) + v(x,y)} fonksiyonu D üzerinde bir mutlak maksimuma ve bir de mutlak minimuma sahiptir. hepsi bu kadar.

B-C) Yerel türevlenebilir tersi olmak kavramını hiç hatırlayamadım. Türev olan nokta civarında tersi de bulunan bir fonksiyon mu kastedilen? bunu açarsanız diğer sorulara da bildiğim kadarıyla cevap vermeye çalışırım.

[Lokman Gökçe]

B - C şıkları da anladığım şekilde olsa gerek. Bunlara da cevabını verelim:

B) G nin yerel (lokal) türevlenebilir tersi G^-1 varsa G türevli oladuğu nokta civarında monotonik bir fonksiyondur. Yani kesin artan ya da kesin azalandır. Bu yüzden kopmakt kümenin sınırları üzerinde G fonk. max -min değerlerini alır. soruda verilen D kümesinin sınırı ise x² + y² = r² çemberidir.

C) Bu şıkkın cevabı ise olumsuzdur. ters örnek verelim: