$4x^2+9y^2=72z^2$ denklemi

[edizalturk]

$4x^2+9y^2=72z^2$ denkleminin tamsayı çözümlerini bulunuz.

[taftazani44]

4x²+9y²=72z² ifadesini mod4 ve mod 9 da ayrı ayrı incelersek ;
y²≈0 mod4 yanı y²=4a
x²≈0 mod9 yanı x²=9b
Bu durumda 4.9b+9.4a=72z²
b+a=2z²=2.1,2.4,2.9,.....,2.z²
b=a=1,4,9,...,z²
(a,b)=(1,1),(4,4),(9,9),...(z²,z²) sonuç olarak x²=9z² ve y²=4z²
4(9z²)+9(4z²)=72z² den sonsuz tane (x,y) tamsayı ikilisi vardır

[AtakanCİCEK]

Denkleme baktığımızda $x^2\equiv 0\pmod 9$ yani $x=3x_0$ olacak şekilde $x_0$ tamsayısı bulunduğu ve benzer şekilde $y=2y_0$ olacak şekilde $y_0$ tamsayısı bulunabildiği görülebilir.

Buradan $(x_0)^2+(y_0)^2=2z^2$ denklemini elde ederiz. Bu denklemin çözümleri ise  bu linkteki $2)$  ye denk geldiği için   https://geomania.org/forum/index.php?topic=9594.msg26632;topicseen#new

Negatif olmayan tam sayılardaki tüm çözümler için

$$x_0=k.(m^2+2mn-n^2),y_0=k.|2mn-m^2+n^2|,z=k.(m^2+n^2) , (m,n)=1 , m>n\geq 0, m\not \equiv n \pmod 2, k\in Z_{\geq 0} $$  veya  $$x_0=k.|2mn-m^2+n^2|,y_0=k.(m^2+2mn-n^2), z=k.(m^2+n^2), (m,n)=1 , m>n\geq 0, m\not \equiv n \pmod 2, k\in Z_{\geq 0} $$

Yani   $$x=3.k.(m^2+2mn-n^2),y=2.k.|2mn-m^2+n^2|,z=k.(m^2+n^2) , (m,n)=1 , m>n\geq 0, m\not \equiv n \pmod 2, k\in Z_{\geq 0} $$  veya  $$x=3.k.|2mn-m^2+n^2|,y=2.k.(m^2+2mn-n^2), z=k.(m^2+n^2), (m,n)=1 , m>n\geq 0, m\not \equiv n \pmod 2, k\in Z_{\geq 0} $$

Buradan tam sayılar kümesine geçmek için $-$ li işaret kombinasyonları yazılabilir.