Mayıs-2008 UAMO ikinci aşama sınav soruları

[ERhan ERdoğan]

...

[ERhan ERdoğan]

...

[osmanekiz]

...

[osmanekiz]

Lise2 lerin 2. sorusu çok klasik bir soru olup DPC üçgenini AB üzerine dışa doğru ABP' olarak kopyalarsak PAP'B kiriş dörtgeni olup m(P'AB) = m(P'PB) olur. P'PCB nin paralelkenar olduğ u göz önüne alınırsa
m(PDC) = m(P'AB) = m(P'PB) = m(PBC) olur.

Yukarıdaki işlemler tersten yapılar ispatın ikinci kısmnıda yapılabilir.

[Lokman Gökçe]

lise 1'ler için 4. sorunun çözümü:

[Lokman Gökçe]

lise 2'ler için 2.soru aşağıdaki linkte incelenmişti

http://www.geomania.org/index.php/topic,838.0.html

lise 1'ler için 5. soruya da osman hocamınki ile aynı olan çözümü yapmıştım. çizim için uğraşmıştım şekli de ilave edeyim dedim 

[ERhan ERdoğan]

Lise 1/2 :

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=5\Rightarrow 5a-1=a.\dfrac{b+c}{b.c}$

ve benzer şeklide

$5b-1=b.\dfrac{a+c}{a.c}       ,        5c-1=c.\dfrac{a+b}{a.b}$

olur.

$A\geqslant G$ eşitsizliğinden

$\sqrt{(5a-1).(5b-1)}+\sqrt{(5b-1)(5c-1)}+\sqrt{(5c-1)(5a-1)}\geqslant 3.\sqrt[3]{(5a-1).(5b-1).(5c-1)}=3.\sqrt[3]{\dfrac{(a+b)(a+c)(b+c)}{abc}}$

yine $A\geqslant G$ eşitsizliğinden,

$a+b \geqslant 2\sqrt{a.b}    ,     a+c \geqslant 2\sqrt{a.c}    ,     b+c \geqslant 2\sqrt{b.c}$

olduğundan

$3.\sqrt[3]{(5a-1).(5b-1).(5c-1)}=3.\sqrt[3]{\dfrac{(a+b)(a+c)(b+c)}{abc}}\geqslant 3.\sqrt[3]{\dfrac{2\sqrt{ab}.2\sqrt{ac}.2\sqrt{bc}}{abc}}=3.\sqrt[3]{\dfrac{2^{3}.abc}{abc}}=6$