$BK$, $AC$ yi $P$ de kessin. $AP$ nin orta noktası $P'$ olsun.
$CL$, $AB$ yi $Q$ da kessin. $AQ$ nun orta noktası $Q'$ olsun.
$\angle ABP = \angle ACQ$ olduğu için $AQ\cdot AB = AP \cdot AC$. Dolayısıyla $AQ \cdot AM = AP'\cdot AC$, bu da $C, P', Q, M$ noktalarının çembersel olduğu anlamına gelir. Bu çembere $\Pi_K$ diyelim.
Soruda verilenlerden, $\angle MKP = \angle KCP$.
$MP' \parallel BP$ olduğu için $\angle P'MK = 180^\circ - \angle MKP = 180^\circ - \angle KCP$ olduğu için, $K$ noktası da $\Pi_K$ üzerindedir.
Benzer şekilde $B, Q', P, N, L$ noktaları da çemberseldir. Bu çembere de $\Pi_L$ diyelim.
Şimdi de $BM$ doğru parçası üzerinde $MM'=QQ'$ ve $CN$ doğru parçası üzerinde $NN' = PP'$ olacak şekilde $M'$ ve $N'$ noktaları alalım.
$AM'N'$ üçgeninin çevrel çemberine $\Pi$ diyelim.
Dikkat edilirse, $BM'=M'Q$ ve $CN'=N'P$.
$B$ noktasının $\Pi$ ve $\Pi_K$ ya göre kuvvetlerini yazalım.
$P_{\Pi}(B) = BM'\cdot BA$.
$P_{\Pi_K}(B) = BM\cdot BQ = \dfrac {BA}{2}\cdot 2BM' = P_{\Pi}(B)$.
Kuvvetler eşit olduğundan $B$ noktası, bu iki çemberin kuvvet ekseni üzerindedir.
Şimdi de $P$ noktasının $\Pi$ ve $\Pi_K$ ya göre kuvvetlerini yazalım.
$P_{\Pi}(P) = AP \cdot PN'$.
$P_{\Pi_K}(P) = PP'\cdot CP = \dfrac {AP}{2}\cdot 2PN' = P_{\Pi}(P)$.
Kuvvetler eşit olduğundan $P$ noktası, bu iki çemberin kuvvet ekseni üzerindedir.
Son durumda, $BP$ doğrusu bu $\Pi$ ve $\Pi_K$ çemberlerinin kuvvet eksenidir. Çemberler kuvvet eksenini aynı iki noktada keseceğinden, bu noktalardan biri $K$ dir. Yani, $K$ noktası $\Pi$ üzerindedir.
Aynı işlemleri, $C$ ve $Q$ noktaları ile $\Pi_L$ çemberi için de yaparsak $L$ noktasının $\Pi$ üzerinde olduğunu buluruz.
$\Pi$ çemberinin yarıçapına $R$ diyelim.
$P_{\Pi}(M) = MM'\cdot AM = AQ' \cdot AM = \dfrac {AQ}2 \cdot\dfrac {AB}2 = R^2 - OM^2$
$P_{\Pi}(N)= NN' \cdot AN = \dfrac {AP}{2} \dfrac {AC}{2} = R^2 - ON^2$.
$AQ\cdot AB = AP\cdot AC$ bilgisini çözümün başında kullanmıştık. Bu durumda, $OM=ON$ olur. $\blacksquare$
