Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2026 Soru 1

[geo]

Bir tahtaya, $1$'den büyük $2026$ tam sayı yazılmıştır (bu sayılar birbirinden farklı olmak zorunda değildir). Bir hamlede, Konfüçyüs tahtadaki farklı yerlerden $m>1$ ve $n>1$ olan iki tam sayı seçer ve bu iki sayıyı $\gcd(m,n)$ ve $\dfrac{\operatorname{lcm}(m,n)}{\gcd(m,n)}$ sayılarıyla değiştirir. Mümkün olduğu sürece hamle yapmaya devam eder.

(a) Konfüçyüs'ün seçimleri ne olursa olsun, sonlu sayıda hamleden sonra tahtada $1$'den büyük tam olarak bir $M$ tam sayısı kalacağını kanıtlayınız.

(b) $M$ değerinin Konfüçyüs'ün seçimlerine bağlı olmadığını kanıtlayınız.

(Burada $\gcd(x,y)$, $x$ ve $y$ pozitif tam sayılarının en büyük ortak bölenini; $\operatorname{lcm}(x,y)$ ise $x$ ve $y$'nin en küçük ortak katını göstermektedir.)