Cevap: $\boxed{?}$
$(x+y,y+z,z+x)=(a,b,c)$ dönüşümü yaparsak, $abc=108$ bulunur. Buradan elde edilen $(a,b,c)$ çözümünden $(x,y,z)$ elde edebilmemiz için $a+b+c$'nin çift olması gerek ve yeterli şarttır. Çünkü $(x,y,z)=\left(\frac{a-b+c}{2},\frac{a+b-c}{2},\frac{-a+b+c}{2}\right)$'dir ($a$,$b$ veya $c$ eklenerek görülebilir).
$abc=10^8=2^{8}\cdot 5^8$ olduğundan $a+b+c$'nin çift olmasının tek yolu birinin çift, diğer ikisinin tek olması veya üçünün birden çift olmasıdır. Eğer biri çiftse sadece $2^8$'i çift olana koyacağımızdan $3$ şekilde dağıtılabilir. Eğer üçü birden çiftse üç tane $2$ çarpanını dağıtırız ve geriye $2^5$ kalır. $2^{m_1}\cdot 2^{m_2}\cdot 2^{m_3}=2^5$ olması için $m_1+m_2+m_3=5$ olmalıdır. Dağılım formülünden, $\binom{5+3-1}{3-1}=\binom{7}{2}=21$ şekilde dağıtılabilir. Yani $2$ çarpanını $21+3=24$ farklı şekilde dağıtabiliriz.
Ayrıca $-1$ çarpanını da dağıtmamız gerekiyor, $(+,+,+)$, $(+,-,-)$, $(-,+,-)$, $(-,-,+)$ olabileceğinden $4$ farklı şekilde dağıtılabilir. Bu yüzden de $4$ ile çarpmak gerekmektedir.
Son olarak $5^8$'ü de dağıtmalıyız. $5^{n_1}\cdot 5^{n_2}\cdot 5^{n_3}=5^8$ olması için $n_1+n_2+n_3=8$ olmalıdır. Dağılım formülünden, $\binom{8+3-1}{3-1}=\binom{10}{2}=45$ çözüm vardır. Dolayısıyla tüm çözüm sayısı $24\cdot 4\cdot 45=4320$'dir.
