Tübitak Lise 1. Aşama 2026 Soru 07

[geo]

$P(x)=x^3-3x+1$ polinomunun kökleri $x_1,x_2,x_3$ olsun. $Q(x)=x^3+ax^2+bx+c$ polinomunun kökleri $x_1^2,x_2^2,x_3^2$ ise, $a+b+c$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ -3 \qquad \textbf{b)}\ 0 \qquad \textbf{c)}\ 2 \qquad \textbf{d)}\ 5 \qquad \textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Vieta formüllerinden $x_1+x_2+x_3=0$, $x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-3$ ve $x_1x_2x_3=-1$'dir. Bizden istenilenler ise $$a=-x_1^2-x_2^2-x_3^2$$ $$b=x_1^2x_2^2+x_1^2x_3^2+x_2^2x_3^2,$$ $$c=-x_1^2x_2^2x_3^2$$ şeklindedir. $c=-1$ olduğu kolayca görülebilir, $$x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)=6$$ olduğundan $a=-6$'dır. $$x_1^2x_2^2+x_1^2x_3^2+x_2^2x_3^2=(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)^2-2(x_1+x_2+x_3)x_1x_2x_3=9$$ olduğundan $b=9$'dur. Sonuç olarak $a+b+c=2$ bulunur.