$A=\frac{(m+3)^{n}+1}{3m}$ bir tamsayı ise

[MATSEVER 27]

$m,n$ pozitif tamsayılar olmak üzere;
$$A=\frac{(m+3)^{n}+1}{3m}$$
bir tamsayı ise $A$ nın tek sayı olduğunu gösteriniz.

[Abdullah demircan]

Öncelikle $m$'nin tek olması durumunda $A$ da tek sayı olur. O yüzden $m$'yi çift varsayalım. mod 8 incelendiğinde $m$'nin 8 ile bölünemedigi sonucuna ulaşılır. O zaman incelenmesi gereken durumlar:
$m \equiv 4 \pmod {8}$
$m \equiv 2 \pmod {4}$
2.durumda A'nın tek olduğu kolayca görülür. O zaman geriye birinci durum kaldı. Bu durumu incelemeden önce mod 3'ten $n$'nin tek olması gerektiğini not edelim.buradan hareketle,
$m|3^{n}+1$ olduğundan ve -3, $3^{n}+1'i$ bölen her asal sayının mod'unda kare kalan olduğundan bu sayıyı çift sayılar hariç bölen her sayı mod 3'te 1'e denktir. $m$ de bu sayının bir bölenidir ve $m$'yi bölen 2 çarpanı sayısı 2'dir. O zaman $m$ mod 3'te 1'e denk olmalıdır fakat bu durumda A tam sayı olamaz. Demek ki $m$ için olası durumlar şunlardır:
$m \equiv 1 \pmod {2}$ ve
$m \equiv 2 \pmod {4}$