Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2025 Soru 1

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Her $a,b$  ve $c$  pozitif reel sayısı için

$$\dfrac{(a^2+bc)^2}{b+c}+\dfrac{(b^2+ca)^2}{c+a}+\dfrac{(c^2+ab}{a+b}\geq \dfrac{2abc(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$$

olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Bu problem anladığım kadarıyla Türkiye tarafından sunulmuş. Çözüme geçecek olursak Aritmetik-Geometrik Ortalama'dan $(a^2+bc)^2\geq 4a^2bc$  dir. O halde
$$\sum_{cyc}{\dfrac{(a^2+bc)^2}{b+c}}\geq \sum_{cyc}{\dfrac{2a^2bc}{b+c}}=4abc\left(\sum_{cyc}{\dfrac{a}{b+c}}\right)\overbrace{\geq}^{Bergström} \dfrac{4abc(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}=\dfrac{2abc(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$$
olarak elde edilir. Eşitlik durumu $a=b=c$  iken sağlanır.