Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2025 Soru 27

[matematikolimpiyati]

$x,y,z$ gerçel sayıları
\begin{align*}
(x-1)(y-2) &= 3 \\
(y-1)(z-2) &= 3 \\
(z-1)(x-2) &= 1
\end{align*}
denklem sistemini sağlıyorsa $x+y+z$ ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{19}{2}  \qquad\textbf{b)}\ 11  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{14}{3}  \qquad\textbf{d)}\ 0  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$y$ ve $z$'yi birinci ve üçüncü denklemi kullanarak $y=\frac{2x+1}{x-1}$ ve $z=\frac{x-1}{x-2}$ olarak yazabiliriz. İkinci denklemde bunu yerine yazarsak, $$\frac{(3-x)(x+2)}{(x-1)(x-2)}=3\implies (3-x)(x+2)=3(x-1)(x-2)\implies 2x^2-5x=0\implies x=0\quad\text{veya}\quad x=\frac{5}{2}$$ elde edilir.

$x=0$ ise $y=-1$ ve $z=\frac{1}{2}$ olacağından $x+y+z=-\frac{1}{2}$'dir.

$x=\frac{5}{2}$ ise $y=4$ ve $z=3$ bulunur. Buradan da $x+y+z=\frac{19}{2}$ elde edilir. $x+y+z$'nin alabileceği en büyük değer $\frac{19}{2}$'dir.