Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2025 Soru 29

[matematikolimpiyati]

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $A$ köşesinden $[BC]$ kenarına inilen yüksekliğin ayağı $D$ olsun. $D$ noktasından $AB$ doğrusuna inilen dikmenin ayağı $E$ olsun. $CE$ ve $AD$ doğrularının kesişim noktası $F$ olmak üzere, $|BE|=9$, $|AE|=16$ ve $|CD|=12$ ise $|AF|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 10  \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad\textbf{c)}\ 15  \qquad\textbf{d)}\ 16  \qquad\textbf{e)}\ 18$

[yusufipek]

$ABD$ üçgeninde Öklid Teoremi kullanılarak $|DE|=12$, $EBD$ üçgeninde Pisagor Teoremi kullanılarak $|BD|=15$ ve $AED$ üçgeninde Pisagor Teoremi kullanılarak $|AD|=20$ bulunur.  $ABD$ üçgeninde Menelaus Teoremi uygulanırsa: $\dfrac {12}{12+15}\cdot\dfrac {9}{16}\cdot\dfrac {|AF|}{20-|AF|}=1$ $\Rightarrow |AF|=16$ olarak bulunur.

[geo]

Yanıt: $\boxed D$

$ABD$ üçgeninde Öklid'den $|DE|=\sqrt {9 \cdot 16 }=12=|CD|$.
$s(\widehat {BAD})=s(\widehat {BDE})=2\alpha$ dersek $s(\widehat {ECD})=\alpha$, $s(\widehat{EFA})=s(\widehat{CFD})=90^\circ - \alpha = s(\widehat{AEF})$.
Bu durumda $|AE|=|AF|=16$ olur.