Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2025 Soru 30

[matematikolimpiyati]

$33^{33}$ sayısının, $8$ ile bölümünden kalanı $3$ olan kaç tane pozitif böleni vardır?

$\textbf{a)}\ 289  \qquad\textbf{b)}\ 306  \qquad\textbf{c)}\ 450  \qquad\textbf{d)}\ 510  \qquad\textbf{e)}\ 578$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

$33^{33}=3^{33}\cdot 11^{33}$ olduğundan tüm pozitif bölenleri $3^k\cdot 11^m$ formatındadır. Bu sayının $8$'e bölümünden kalan $$3^k\cdot 11^m\equiv 3^{k+m}\equiv \begin{cases} 3&\text{eğer }k+m\text{ tek ise,}\\ 1&\text{eğer }k+m\text{ çift ise.}\end{cases}\pmod{8}$$ Dolayısıyla, $k+m$'nin tek olduğu $0\leq k,m\leq 33$ ikililerinin sayısını arıyoruz.  $k$ çift, $m$ tek ise $17^2$ seçenek vardır. Simetriden, tam tersi durum için de $17^2$ seçenek vardır. Dolayısıyla, toplamda $2\cdot 17^2=578$ pozitif bölen vardır.