Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2025 Soru 14

[matematikolimpiyati]

$\overline{AB}$ ve $\overline{CD}$ iki basamaklı sayılar olmak üzere, dört basamaklı $\overline{ABCD}$ sayısı $\overline{AB}$ $\cdot$ $\overline{CD}$ sayısı ile tam bölünmektedir. Buna göre, $\overline{ABCD}$ sayısı kaç farklı değer alabilir?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ 8$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

$\overline{ABCD}=100\cdot \overline{AB}+\overline{CD}$'dir. Bu sayı $\overline{AB}$'ye bölündüğünden $\overline{AB}\mid \overline{CD}$ olacaktır. $\overline{CD}=k\cdot \overline{AB}$ olsun. Bu durumda $\overline{AB}\cdot \overline{CD}=k\cdot \overline{AB}^2$ ve $\overline{ABCD}=(100+k)\cdot \overline{AB}$'dir. Dolayısıyla, $$\overline{AB}\cdot \overline{CD}\mid \overline{ABCD}\implies k\cdot \overline{AB}^2\mid (100+k)\overline{AB}\implies k\cdot \overline{AB}\mid k+100$$ bulunur. $k\mid k+100$ ve $k\mid 100$ olacaktır. $k\cdot \overline{AB}=\overline{CD}$ olduğundan $k=1,2,4,5$ olabilir.

$k=1$ ise $\overline{AB}\mid 101$ olur, çözüm yoktur.

$k=2$ ise $\overline{AB}\mid 51$ olacaktır. $\overline{AB}=17,51$ olabilir ancak $\overline{CD}=2\cdot \overline{AB}$ olduğundan $\overline{ABCD}=1734$ olmalıdır.

$k=4$ ise $\overline{AB}\mid 26$ olacaktır. $\overline{AB}=13,26$ olabilir ancak $\overline{CD}=4\cdot \overline{AB}$ olduğundan $\overline{ABCD}=1352$ olmalıdır.

$k=5$ ise $\overline{AB}\mid 21$ olacaktır. $\overline{AB}=21$ olmalıdır ancak $\overline{CD}=105$ çelişkisi elde edilir.

Şartı sağlayan tüm sayılar $1734,1352$'dir.