Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2025 Soru 07

[matematikolimpiyati]

$a$ ve $b$ verilmiş gerçel sayılar olsun. $x_1,x_2, \cdots $ dizisi her $n$ pozitif tam sayısı için $x_n=(a+n)^2+(b+n)^2$ olarak tanımlanıyor. $x_5-x_1=100$ ise $x_9-x_5$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 100  \qquad\textbf{b)}\ 108  \qquad\textbf{c)}\ 124  \qquad\textbf{d)}\ 148  \qquad\textbf{e)}\ 164$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

$x_n=(a+n)^2+(b+n)^2=2n^2+2(a+b)n+(a^2+b^2)$'dir. Dolayısıyla, $$x_5-x_1=2\cdot 5^2+10(a+b)-2\cdot 1^2-2(a+b)=48+8(a+b)=100\implies a+b=\frac{13}{2}$$ buluruz. Yani $x_n=2n^2+13n+(a^2+b^2)$'dir. Buradan $$x_9-x_5=(2\cdot 9^2+13\cdot 9)-(2\cdot 5^2+13\cdot 5)=164$$ elde edilir.